Производная e^(1/(x-2))

Вы ввели

     1  
 1*-----
   x - 2
e       

$$e^{1 \cdot \frac{1}{x - 2}}$$

  /     1  \
  | 1*-----|
d |   x - 2|
--\e       /
dx          

$$\frac{d}{d x} e^{1 \cdot \frac{1}{x - 2}}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = 1 \cdot \frac{1}{x - 2}$.

2. Производная $e^{u}$ само оно.

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} 1 \cdot \frac{1}{x - 2}$:

   1. Применим правило производной частного:

      $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

      $f{\left(x \right)} = 1$ и $g{\left(x \right)} = x - 2$.

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. дифференцируем $x - 2$ почленно:

         1. Производная постоянной $-2$ равна нулю.

         2. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         В результате: $1$

      Теперь применим правило производной деления:

      $- \frac{1}{\left(x - 2\right)^{2}}$

   В результате последовательности правил:

   $- \frac{e^{\frac{1}{x - 2}}}{\left(x - 2\right)^{2}}$

4. Теперь упростим:

   $- \frac{e^{\frac{1}{x - 2}}}{\left(x - 2\right)^{2}}$

---

Ответ:

$- \frac{e^{\frac{1}{x - 2}}}{\left(x - 2\right)^{2}}$

Первая производная

    1   
  ----- 
  x - 2 
-e      
--------
       2
(x - 2) 

$$- \frac{e^{\frac{1}{x - 2}}}{\left(x - 2\right)^{2}}$$

Вторая производная

                1   
              ------
/      1   \  -2 + x
|2 + ------|*e      
\    -2 + x/        
--------------------
             3      
     (-2 + x)       

$$\frac{\left(2 + \frac{1}{x - 2}\right) e^{\frac{1}{x - 2}}}{\left(x - 2\right)^{3}}$$

Третья производная

                             1    
                           ------ 
 /        1         6   \  -2 + x 
-|6 + --------- + ------|*e       
 |            2   -2 + x|         
 \    (-2 + x)          /         
----------------------------------
                    4             
            (-2 + x)              

$$- \frac{\left(6 + \frac{6}{x - 2} + \frac{1}{\left(x - 2\right)^{2}}\right) e^{\frac{1}{x - 2}}}{\left(x - 2\right)^{4}}$$

График