Производная e^(sin(x)+cos(x))

Вы ввели

 sin(x) + cos(x)
E               

$$e^{\sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}$.

2. Производная $e^{u}$ само оно.

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(\sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}\right)$:

   1. дифференцируем $\sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}$ почленно:

      1. Производная синуса есть косинус:

         $\frac{d}{d x} \sin{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )}$

      2. Производная косинус есть минус синус:

         $\frac{d}{d x} \cos{\left (x \right )} = - \sin{\left (x \right )}$

      В результате: $- \sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}$

   В результате последовательности правил:

   $\left(- \sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}\right) e^{\sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}}$

4. Теперь упростим:

   $\sqrt{2} e^{\sqrt{2} \sin{\left (x + \frac{\pi}{4} \right )}} \cos{\left (x + \frac{\pi}{4} \right )}$

---

Ответ:

$\sqrt{2} e^{\sqrt{2} \sin{\left (x + \frac{\pi}{4} \right )}} \cos{\left (x + \frac{\pi}{4} \right )}$

Первая производная

                    sin(x) + cos(x)
(-sin(x) + cos(x))*e               

$$\left(- \sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}\right) e^{\sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}}$$

Вторая производная

/                  2                  \  cos(x) + sin(x)
\(-cos(x) + sin(x))  - cos(x) - sin(x)/*e               

$$\left(\left(\sin{\left (x \right )} - \cos{\left (x \right )}\right)^{2} - \sin{\left (x \right )} - \cos{\left (x \right )}\right) e^{\sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}}$$

Третья производная

                   /                      2                      \  cos(x) + sin(x)
(-cos(x) + sin(x))*\1 - (-cos(x) + sin(x))  + 3*cos(x) + 3*sin(x)/*e               

$$\left(\sin{\left (x \right )} - \cos{\left (x \right )}\right) \left(- \left(\sin{\left (x \right )} - \cos{\left (x \right )}\right)^{2} + 3 \sin{\left (x \right )} + 3 \cos{\left (x \right )} + 1\right) e^{\sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}}$$