Производная e^sin(x)^(2)

Вы ввели

    2   
 sin (x)
E       

$$e^{\sin^{2}{\left (x \right )}}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \sin^{2}{\left (x \right )}$.

2. Производная $e^{u}$ само оно.

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \sin^{2}{\left (x \right )}$:

   1. Заменим $u = \sin{\left (x \right )}$.

   2. В силу правила, применим: $u^{2}$ получим $2 u$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \sin{\left (x \right )}$:

      1. Производная синуса есть косинус:

         $\frac{d}{d x} \sin{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )}$

      В результате последовательности правил:

      $2 \sin{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )}$

   В результате последовательности правил:

   $2 e^{\sin^{2}{\left (x \right )}} \sin{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )}$

4. Теперь упростим:

   $e^{- \frac{1}{2} \cos{\left (2 x \right )} + \frac{1}{2}} \sin{\left (2 x \right )}$

---

Ответ:

$e^{- \frac{1}{2} \cos{\left (2 x \right )} + \frac{1}{2}} \sin{\left (2 x \right )}$

Первая производная

             2          
          sin (x)       
2*cos(x)*e       *sin(x)

$$2 e^{\sin^{2}{\left (x \right )}} \sin{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )}$$

Вторая производная

                                              2   
  /   2         2           2       2   \  sin (x)
2*\cos (x) - sin (x) + 2*cos (x)*sin (x)/*e       

$$2 \left(2 \sin^{2}{\left (x \right )} \cos^{2}{\left (x \right )} - \sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}\right) e^{\sin^{2}{\left (x \right )}}$$

Третья производная

                                                              2          
  /          2           2           2       2   \         sin (x)       
4*\-2 - 3*sin (x) + 3*cos (x) + 2*cos (x)*sin (x)/*cos(x)*e       *sin(x)

$$4 \left(2 \sin^{2}{\left (x \right )} \cos^{2}{\left (x \right )} - 3 \sin^{2}{\left (x \right )} + 3 \cos^{2}{\left (x \right )} - 2\right) e^{\sin^{2}{\left (x \right )}} \sin{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )}$$