Производная e^t*cos(t)

Вы ввели

 t       
e *cos(t)

$$e^{t} \cos{\left(t \right)}$$

d / t       \
--\e *cos(t)/
dt           

$$\frac{d}{d t} e^{t} \cos{\left(t \right)}$$

Подробное решение

1. Применяем правило производной умножения:

   $\frac{d}{d t} f{\left(t \right)} g{\left(t \right)} = f{\left(t \right)} \frac{d}{d t} g{\left(t \right)} + g{\left(t \right)} \frac{d}{d t} f{\left(t \right)}$

   $f{\left(t \right)} = e^{t}$; найдём $\frac{d}{d t} f{\left(t \right)}$:

   1. Производная $e^{t}$ само оно.

   $g{\left(t \right)} = \cos{\left(t \right)}$; найдём $\frac{d}{d t} g{\left(t \right)}$:

   1. Производная косинус есть минус синус:

      $\frac{d}{d t} \cos{\left(t \right)} = - \sin{\left(t \right)}$

   В результате: $- e^{t} \sin{\left(t \right)} + e^{t} \cos{\left(t \right)}$

2. Теперь упростим:

   $\sqrt{2} e^{t} \cos{\left(t + \frac{\pi}{4} \right)}$

---

Ответ:

$\sqrt{2} e^{t} \cos{\left(t + \frac{\pi}{4} \right)}$

Первая производная

        t    t       
cos(t)*e  - e *sin(t)

$$- e^{t} \sin{\left(t \right)} + e^{t} \cos{\left(t \right)}$$

Вторая производная

    t       
-2*e *sin(t)

$$- 2 e^{t} \sin{\left(t \right)}$$

Третья производная

                      t
-2*(cos(t) + sin(t))*e 

$$- 2 \left(\sin{\left(t \right)} + \cos{\left(t \right)}\right) e^{t}$$

График