Производная e^t*sin(t)

Вы ввели

 t       
E *sin(t)

$$e^{t} \sin{\left (t \right )}$$

Подробное решение

1. Применяем правило производной умножения:

   $\frac{d}{d t}\left(f{\left (t \right )} g{\left (t \right )}\right) = f{\left (t \right )} \frac{d}{d t} g{\left (t \right )} + g{\left (t \right )} \frac{d}{d t} f{\left (t \right )}$

   $f{\left (t \right )} = e^{t}$; найдём $\frac{d}{d t} f{\left (t \right )}$:

   1. Производная $e^{t}$ само оно.

   $g{\left (t \right )} = \sin{\left (t \right )}$; найдём $\frac{d}{d t} g{\left (t \right )}$:

   1. Производная синуса есть косинус:

      $\frac{d}{d t} \sin{\left (t \right )} = \cos{\left (t \right )}$

   В результате: $e^{t} \sin{\left (t \right )} + e^{t} \cos{\left (t \right )}$

2. Теперь упростим:

   $\sqrt{2} e^{t} \sin{\left (t + \frac{\pi}{4} \right )}$

---

Ответ:

$\sqrt{2} e^{t} \sin{\left (t + \frac{\pi}{4} \right )}$

Первая производная

        t    t       
cos(t)*e  + e *sin(t)

$$e^{t} \sin{\left (t \right )} + e^{t} \cos{\left (t \right )}$$

Вторая производная

          t
2*cos(t)*e 

$$2 e^{t} \cos{\left (t \right )}$$

Третья производная

                      t
2*(-sin(t) + cos(t))*e 

$$2 \left(- \sin{\left (t \right )} + \cos{\left (t \right )}\right) e^{t}$$