Производная e^tan(3*x)

Вы ввели

 tan(3*x)
e        

$$e^{\tan{\left(3 x \right)}}$$

d / tan(3*x)\
--\e        /
dx           

$$\frac{d}{d x} e^{\tan{\left(3 x \right)}}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \tan{\left(3 x \right)}$.

2. Производная $e^{u}$ само оно.

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \tan{\left(3 x \right)}$:

   1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:

      $\tan{\left(3 x \right)} = \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{\cos{\left(3 x \right)}}$

   2. Применим правило производной частного:

      $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

      $f{\left(x \right)} = \sin{\left(3 x \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \cos{\left(3 x \right)}$.

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Заменим $u = 3 x$.

      2. Производная синуса есть косинус:

         $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} 3 x$:

         1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            Таким образом, в результате: $3$

         В результате последовательности правил:

         $3 \cos{\left(3 x \right)}$

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. Заменим $u = 3 x$.

      2. Производная косинус есть минус синус:

         $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} 3 x$:

         1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            Таким образом, в результате: $3$

         В результате последовательности правил:

         $- 3 \sin{\left(3 x \right)}$

      Теперь применим правило производной деления:

      $\frac{3 \sin^{2}{\left(3 x \right)} + 3 \cos^{2}{\left(3 x \right)}}{\cos^{2}{\left(3 x \right)}}$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{\left(3 \sin^{2}{\left(3 x \right)} + 3 \cos^{2}{\left(3 x \right)}\right) e^{\tan{\left(3 x \right)}}}{\cos^{2}{\left(3 x \right)}}$

4. Теперь упростим:

   $\frac{3 e^{\tan{\left(3 x \right)}}}{\cos^{2}{\left(3 x \right)}}$

---

Ответ:

$\frac{3 e^{\tan{\left(3 x \right)}}}{\cos^{2}{\left(3 x \right)}}$

Первая производная

/         2     \  tan(3*x)
\3 + 3*tan (3*x)/*e        

$$\left(3 \tan^{2}{\left(3 x \right)} + 3\right) e^{\tan{\left(3 x \right)}}$$

Вторая производная

  /       2     \ /       2                  \  tan(3*x)
9*\1 + tan (3*x)/*\1 + tan (3*x) + 2*tan(3*x)/*e        

$$9 \left(\tan^{2}{\left(3 x \right)} + 1\right) \left(\tan^{2}{\left(3 x \right)} + 2 \tan{\left(3 x \right)} + 1\right) e^{\tan{\left(3 x \right)}}$$

Третья производная

                   /                   2                                           \          
   /       2     \ |    /       2     \         2          /       2     \         |  tan(3*x)
27*\1 + tan (3*x)/*\2 + \1 + tan (3*x)/  + 6*tan (3*x) + 6*\1 + tan (3*x)/*tan(3*x)/*e        

$$27 \left(\tan^{2}{\left(3 x \right)} + 1\right) \left(\left(\tan^{2}{\left(3 x \right)} + 1\right)^{2} + 6 \left(\tan^{2}{\left(3 x \right)} + 1\right) \tan{\left(3 x \right)} + 6 \tan^{2}{\left(3 x \right)} + 2\right) e^{\tan{\left(3 x \right)}}$$

График