Производная e^x/sin(x)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение производной 😼

()'

– производная -го порядка в точке

График:

от до

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
   x  
  e   
------
sin(x)
exsin(x)\frac{e^{x}}{\sin{\left(x \right)}}
  /   x  \
d |  e   |
--|------|
dx\sin(x)/
ddxexsin(x)\frac{d}{d x} \frac{e^{x}}{\sin{\left(x \right)}}
Подробное решение
  1. Применим правило производной частного:

    ddxf(x)g(x)=f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

    f(x)=exf{\left(x \right)} = e^{x} и g(x)=sin(x)g{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}.

    Чтобы найти ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

    1. Производная exe^{x} само оно.

    Чтобы найти ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

    1. Производная синуса есть косинус:

      ddxsin(x)=cos(x)\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}

    Теперь применим правило производной деления:

    exsin(x)excos(x)sin2(x)\frac{e^{x} \sin{\left(x \right)} - e^{x} \cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}

  2. Теперь упростим:

    2excos(x+π4)sin2(x)- \frac{\sqrt{2} e^{x} \cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}


Ответ:

2excos(x+π4)sin2(x)- \frac{\sqrt{2} e^{x} \cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}

График
02468-8-6-4-2-101020000000-10000000
Первая производная [src]
   x             x
  e      cos(x)*e 
------ - ---------
sin(x)       2    
          sin (x) 
exsin(x)excos(x)sin2(x)\frac{e^{x}}{\sin{\left(x \right)}} - \frac{e^{x} \cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}
Вторая производная [src]
/                    2   \   
|    2*cos(x)   2*cos (x)|  x
|2 - -------- + ---------|*e 
|     sin(x)        2    |   
\                sin (x) /   
-----------------------------
            sin(x)           
(22cos(x)sin(x)+2cos2(x)sin2(x))exsin(x)\frac{\left(2 - \frac{2 \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} + \frac{2 \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\right) e^{x}}{\sin{\left(x \right)}}
Третья производная [src]
/                           /         2   \       \   
|                           |    6*cos (x)|       |   
|                           |5 + ---------|*cos(x)|   
|                    2      |        2    |       |   
|    3*cos(x)   6*cos (x)   \     sin (x) /       |  x
|4 - -------- + --------- - ----------------------|*e 
|     sin(x)        2               sin(x)        |   
\                sin (x)                          /   
------------------------------------------------------
                        sin(x)                        
((5+6cos2(x)sin2(x))cos(x)sin(x)+43cos(x)sin(x)+6cos2(x)sin2(x))exsin(x)\frac{\left(- \frac{\left(5 + \frac{6 \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\right) \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} + 4 - \frac{3 \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} + \frac{6 \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\right) e^{x}}{\sin{\left(x \right)}}
График
Производная e^x/sin(x) /media/krcore-image-pods/hash/derivative/8/40/1e495696e0e3c05266abd466a1b81.png