Производная e^x/(x-1)

Вы ввели

   x 
  E  
-----
x - 1

$$\frac{e^{x}}{x - 1}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = e^{x}$ и $g{\left (x \right )} = x - 1$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. Производная $e^{x}$ само оно.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. дифференцируем $x - 1$ почленно:

      1. Производная постоянной $-1$ равна нулю.

      2. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

      В результате: $1$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{\left(x - 1\right) e^{x} - e^{x}}{\left(x - 1\right)^{2}}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{\left(x - 2\right) e^{x}}{\left(x - 1\right)^{2}}$

---

Ответ:

$\frac{\left(x - 2\right) e^{x}}{\left(x - 1\right)^{2}}$

Первая производная

   x        x   
  e        e    
----- - --------
x - 1          2
        (x - 1) 

$$\frac{e^{x}}{x - 1} - \frac{e^{x}}{\left(x - 1\right)^{2}}$$

Вторая производная

/      2          2    \  x
|1 - ------ + ---------|*e 
|    -1 + x           2|   
\             (-1 + x) /   
---------------------------
           -1 + x          

$$\frac{e^{x}}{x - 1} \left(1 - \frac{2}{x - 1} + \frac{2}{\left(x - 1\right)^{2}}\right)$$

Третья производная

/        6         3          6    \  x
|1 - --------- - ------ + ---------|*e 
|            3   -1 + x           2|   
\    (-1 + x)             (-1 + x) /   
---------------------------------------
                 -1 + x                

$$\frac{e^{x}}{x - 1} \left(1 - \frac{3}{x - 1} + \frac{6}{\left(x - 1\right)^{2}} - \frac{6}{\left(x - 1\right)^{3}}\right)$$