Производная e^(x-(1/x))

Вы ввели

     1
 x - -
     x
E     

$$e^{x - \frac{1}{x}}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = x - \frac{1}{x}$.

2. Производная $e^{u}$ само оно.

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(x - \frac{1}{x}\right)$:

   1. дифференцируем $x - \frac{1}{x}$ почленно:

      1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

      2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим: $\frac{1}{x}$ получим $- \frac{1}{x^{2}}$

         Таким образом, в результате: $\frac{1}{x^{2}}$

      В результате: $1 + \frac{1}{x^{2}}$

   В результате последовательности правил:

   $\left(1 + \frac{1}{x^{2}}\right) e^{x - \frac{1}{x}}$

4. Теперь упростим:

   $\frac{1}{x^{2}} \left(x^{2} + 1\right) e^{\frac{1}{x} \left(x^{2} - 1\right)}$

---

Ответ:

$\frac{1}{x^{2}} \left(x^{2} + 1\right) e^{\frac{1}{x} \left(x^{2} - 1\right)}$

Первая производная

              1
          x - -
/    1 \      x
|1 + --|*e     
|     2|       
\    x /       

$$\left(1 + \frac{1}{x^{2}}\right) e^{x - \frac{1}{x}}$$

Вторая производная

                      1
/        2     \  x - -
|/    1 \    2 |      x
||1 + --|  - --|*e     
||     2|     3|       
\\    x /    x /       

$$\left(\left(1 + \frac{1}{x^{2}}\right)^{2} - \frac{2}{x^{3}}\right) e^{x - \frac{1}{x}}$$

Третья производная

/                   /    1 \\       
|                 6*|1 + --||      1
|        3          |     2||  x - -
|/    1 \    6      \    x /|      x
||1 + --|  + -- - ----------|*e     
||     2|     4        3    |       
\\    x /    x        x     /       

$$\left(\left(1 + \frac{1}{x^{2}}\right)^{3} - \frac{1}{x^{3}} \left(6 + \frac{6}{x^{2}}\right) + \frac{6}{x^{4}}\right) e^{x - \frac{1}{x}}$$