Производная e^x*(sin(x))

Вы ввели

 x       
E *sin(x)

$$e^{x} \sin{\left (x \right )}$$

Подробное решение

1. Применяем правило производной умножения:

   $\frac{d}{d x}\left(f{\left (x \right )} g{\left (x \right )}\right) = f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$

   $f{\left (x \right )} = e^{x}$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. Производная $e^{x}$ само оно.

   $g{\left (x \right )} = \sin{\left (x \right )}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. Производная синуса есть косинус:

      $\frac{d}{d x} \sin{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )}$

   В результате: $e^{x} \sin{\left (x \right )} + e^{x} \cos{\left (x \right )}$

2. Теперь упростим:

   $\sqrt{2} e^{x} \sin{\left (x + \frac{\pi}{4} \right )}$

---

Ответ:

$\sqrt{2} e^{x} \sin{\left (x + \frac{\pi}{4} \right )}$

Первая производная

        x    x       
cos(x)*e  + e *sin(x)

$$e^{x} \sin{\left (x \right )} + e^{x} \cos{\left (x \right )}$$

Вторая производная

          x
2*cos(x)*e 

$$2 e^{x} \cos{\left (x \right )}$$

Третья производная

                      x
2*(-sin(x) + cos(x))*e 

$$2 \left(- \sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}\right) e^{x}$$