Производная e^x*x^e

Вы ввели

 x  E
E *x 

$$e^{x} x^{e}$$

Подробное решение

1. Применяем правило производной умножения:

   $\frac{d}{d x}\left(f{\left (x \right )} g{\left (x \right )}\right) = f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$

   $f{\left (x \right )} = e^{x}$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. Производная $e^{x}$ само оно.

   $g{\left (x \right )} = x^{e}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. В силу правила, применим: $x^{e}$ получим $\frac{e x^{e}}{x}$

   В результате: $x^{e} e^{x} + \frac{e x^{e}}{x} e^{x}$

2. Теперь упростим:

   $x^{-1 + e} \left(x + e\right) e^{x}$

---

Ответ:

$x^{-1 + e} \left(x + e\right) e^{x}$

Первая производная

           E  x
 E  x   E*x *e 
x *e  + -------
           x   

$$x^{e} e^{x} + \frac{e x^{e}}{x} e^{x}$$

Вторая производная

   /     2           \   
 E |    e    E    2*E|  x
x *|1 + -- - -- + ---|*e 
   |     2    2    x |   
   \    x    x       /   

$$x^{e} \left(1 + \frac{2 e}{x} - \frac{e}{x^{2}} + \frac{e^{2}}{x^{2}}\right) e^{x}$$

Третья производная

   /     3            2                  2\   
 E |    e    3*E   3*e    2*E   3*E   3*e |  x
x *|1 + -- - --- - ---- + --- + --- + ----|*e 
   |     3     2     3      3    x      2 |   
   \    x     x     x      x           x  /   

$$x^{e} \left(1 + \frac{3 e}{x} - \frac{3 e}{x^{2}} + \frac{3 e^{2}}{x^{2}} - \frac{3 e^{2}}{x^{3}} + \frac{2 e}{x^{3}} + \frac{e^{3}}{x^{3}}\right) e^{x}$$