Производная e^(x^2)/x

Вы ввели

 / 2\
 \x /
E    
-----
  x  

$$\frac{e^{x^{2}}}{x}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = e^{x^{2}}$ и $g{\left (x \right )} = x$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. Заменим $u = x^{2}$.

   2. Производная $e^{u}$ само оно.

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} x^{2}$:

      1. В силу правила, применим: $x^{2}$ получим $2 x$

      В результате последовательности правил:

      $2 x e^{x^{2}}$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{1}{x^{2}} \left(2 x^{2} e^{x^{2}} - e^{x^{2}}\right)$

2. Теперь упростим:

   $\frac{e^{x^{2}}}{x^{2}} \left(2 x^{2} - 1\right)$

---

Ответ:

$\frac{e^{x^{2}}}{x^{2}} \left(2 x^{2} - 1\right)$

Первая производная

           / 2\
   / 2\    \x /
   \x /   e    
2*e     - -----
             2 
            x  

$$2 e^{x^{2}} - \frac{e^{x^{2}}}{x^{2}}$$

Вторая производная

                  / 2\
  /1    1      \  \x /
2*|-- - - + 2*x|*e    
  | 3   x      |      
  \x           /      

$$2 \left(2 x - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{3}}\right) e^{x^{2}}$$

Третья производная

                      / 2\
  /  3    3       2\  \x /
2*|- -- + -- + 4*x |*e    
  |   4    2       |      
  \  x    x        /      

$$2 \left(4 x^{2} + \frac{3}{x^{2}} - \frac{3}{x^{4}}\right) e^{x^{2}}$$