Производная e^(z/(z-3))

Вы ввели

   z  
 -----
 z - 3
E     

$$e^{\frac{z}{z - 3}}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \frac{z}{z - 3}$.

2. Производная $e^{u}$ само оно.

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d z}\left(\frac{z}{z - 3}\right)$:

   1. Применим правило производной частного:

      $\frac{d}{d z}\left(\frac{f{\left (z \right )}}{g{\left (z \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (z \right )}} \left(- f{\left (z \right )} \frac{d}{d z} g{\left (z \right )} + g{\left (z \right )} \frac{d}{d z} f{\left (z \right )}\right)$

      $f{\left (z \right )} = z$ и $g{\left (z \right )} = z - 3$.

      Чтобы найти $\frac{d}{d z} f{\left (z \right )}$:

      1. В силу правила, применим: $z$ получим $1$

      Чтобы найти $\frac{d}{d z} g{\left (z \right )}$:

      1. дифференцируем $z - 3$ почленно:

         1. Производная постоянной $-3$ равна нулю.

         2. В силу правила, применим: $z$ получим $1$

         В результате: $1$

      Теперь применим правило производной деления:

      $- \frac{3}{\left(z - 3\right)^{2}}$

   В результате последовательности правил:

   $- \frac{3 e^{\frac{z}{z - 3}}}{\left(z - 3\right)^{2}}$

4. Теперь упростим:

   $- \frac{3 e^{\frac{z}{z - 3}}}{\left(z - 3\right)^{2}}$

---

Ответ:

$- \frac{3 e^{\frac{z}{z - 3}}}{\left(z - 3\right)^{2}}$

Первая производная

                      z  
                    -----
/  1        z    \  z - 3
|----- - --------|*e     
|z - 3          2|       
\        (z - 3) /       

$$\left(- \frac{z}{\left(z - 3\right)^{2}} + \frac{1}{z - 3}\right) e^{\frac{z}{z - 3}}$$

Вторая производная

                              z   
                            ------
/      z   \ /       z   \  -3 + z
|1 + ------|*|-1 + ------|*e      
\    -3 + z/ \     -3 + z/        
----------------------------------
                    2             
            (-3 + z)              

$$\frac{e^{\frac{z}{z - 3}}}{\left(z - 3\right)^{2}} \left(\frac{z}{z - 3} - 1\right) \left(\frac{z}{z - 3} + 1\right)$$

Третья производная

                                            z    
               /             2         \  ------ 
 /       z   \ |/       z   \     6*z  |  -3 + z 
-|-1 + ------|*||-1 + ------|  + ------|*e       
 \     -3 + z/ \\     -3 + z/    -3 + z/         
-------------------------------------------------
                            3                    
                    (-3 + z)                     

$$- \frac{e^{\frac{z}{z - 3}}}{\left(z - 3\right)^{3}} \left(\frac{z}{z - 3} - 1\right) \left(\frac{6 z}{z - 3} + \left(\frac{z}{z - 3} - 1\right)^{2}\right)$$