Производная cos(pi/(2-x))

Вы ввели

   /  pi \
cos|-----|
   \2 - x/

$$\cos{\left (\frac{\pi}{- x + 2} \right )}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \frac{\pi}{- x + 2}$.

2. Производная косинус есть минус синус:

   $\frac{d}{d u} \cos{\left (u \right )} = - \sin{\left (u \right )}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(\frac{\pi}{- x + 2}\right)$:

   1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

      1. Заменим $u = - x + 2$.

      2. В силу правила, применим: $\frac{1}{u}$ получим $- \frac{1}{u^{2}}$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(- x + 2\right)$:

         1. дифференцируем $- x + 2$ почленно:

            1. Производная постоянной $2$ равна нулю.

            2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

               1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

               Таким образом, в результате: $-1$

            В результате: $-1$

         В результате последовательности правил:

         $\frac{1}{\left(- x + 2\right)^{2}}$

      Таким образом, в результате: $\frac{\pi}{\left(- x + 2\right)^{2}}$

   В результате последовательности правил:

   $- \frac{\pi \sin{\left (\frac{\pi}{- x + 2} \right )}}{\left(- x + 2\right)^{2}}$

4. Теперь упростим:

   $\frac{\pi}{\left(x - 2\right)^{2}} \sin{\left (\frac{\pi}{x - 2} \right )}$

---

Ответ:

$\frac{\pi}{\left(x - 2\right)^{2}} \sin{\left (\frac{\pi}{x - 2} \right )}$

Первая производная

       /  pi \ 
-pi*sin|-----| 
       \2 - x/ 
---------------
           2   
    (2 - x)    

$$- \frac{\pi \sin{\left (\frac{\pi}{- x + 2} \right )}}{\left(- x + 2\right)^{2}}$$

Вторая производная

    /                      /  pi  \\ 
    |                pi*cos|------|| 
    |     /  pi  \         \-2 + x/| 
-pi*|2*sin|------| + --------------| 
    \     \-2 + x/       -2 + x    / 
-------------------------------------
                      3              
              (-2 + x)               

$$- \frac{\pi}{\left(x - 2\right)^{3}} \left(2 \sin{\left (\frac{\pi}{x - 2} \right )} + \frac{\pi}{x - 2} \cos{\left (\frac{\pi}{x - 2} \right )}\right)$$

Третья производная

   /                  2    /  pi  \           /  pi  \\
   |                pi *sin|------|   6*pi*cos|------||
   |     /  pi  \          \-2 + x/           \-2 + x/|
pi*|6*sin|------| - --------------- + ----------------|
   |     \-2 + x/              2           -2 + x     |
   \                   (-2 + x)                       /
-------------------------------------------------------
                               4                       
                       (-2 + x)                        

$$\frac{\pi}{\left(x - 2\right)^{4}} \left(6 \sin{\left (\frac{\pi}{x - 2} \right )} + \frac{6 \pi}{x - 2} \cos{\left (\frac{\pi}{x - 2} \right )} - \frac{\pi^{2}}{\left(x - 2\right)^{2}} \sin{\left (\frac{\pi}{x - 2} \right )}\right)$$