Производная cos(sqrt(x+1))

Вы ввели

   /  _______\
cos\\/ x + 1 /

$$\cos{\left (\sqrt{x + 1} \right )}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \sqrt{x + 1}$.

2. Производная косинус есть минус синус:

   $\frac{d}{d u} \cos{\left (u \right )} = - \sin{\left (u \right )}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \sqrt{x + 1}$:

   1. Заменим $u = x + 1$.

   2. В силу правила, применим: $\sqrt{u}$ получим $\frac{1}{2 \sqrt{u}}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(x + 1\right)$:

      1. дифференцируем $x + 1$ почленно:

         1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         2. Производная постоянной $1$ равна нулю.

         В результате: $1$

      В результате последовательности правил:

      $\frac{1}{2 \sqrt{x + 1}}$

   В результате последовательности правил:

   $- \frac{\sin{\left (\sqrt{x + 1} \right )}}{2 \sqrt{x + 1}}$

4. Теперь упростим:

   $- \frac{\sin{\left (\sqrt{x + 1} \right )}}{2 \sqrt{x + 1}}$

---

Ответ:

$- \frac{\sin{\left (\sqrt{x + 1} \right )}}{2 \sqrt{x + 1}}$

Первая производная

    /  _______\ 
-sin\\/ x + 1 / 
----------------
      _______   
  2*\/ x + 1    

$$- \frac{\sin{\left (\sqrt{x + 1} \right )}}{2 \sqrt{x + 1}}$$

Вторая производная

   /  _______\      /  _______\
sin\\/ 1 + x /   cos\\/ 1 + x /
-------------- - --------------
         3/2         1 + x     
  (1 + x)                      
-------------------------------
               4               

$$\frac{1}{4} \left(- \frac{\cos{\left (\sqrt{x + 1} \right )}}{x + 1} + \frac{\sin{\left (\sqrt{x + 1} \right )}}{\left(x + 1\right)^{\frac{3}{2}}}\right)$$

Третья производная

   /  _______\        /  _______\        /  _______\
sin\\/ 1 + x /   3*sin\\/ 1 + x /   3*cos\\/ 1 + x /
-------------- - ---------------- + ----------------
         3/2               5/2                 2    
  (1 + x)           (1 + x)             (1 + x)     
----------------------------------------------------
                         8                          

$$\frac{1}{8} \left(\frac{3}{\left(x + 1\right)^{2}} \cos{\left (\sqrt{x + 1} \right )} + \frac{\sin{\left (\sqrt{x + 1} \right )}}{\left(x + 1\right)^{\frac{3}{2}}} - \frac{3}{\left(x + 1\right)^{\frac{5}{2}}} \sin{\left (\sqrt{x + 1} \right )}\right)$$

График