Производная cos(log(sin(5*x)))

Вы ввели

cos(log(sin(5*x)))

$$\cos{\left (\log{\left (\sin{\left (5 x \right )} \right )} \right )}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \log{\left (\sin{\left (5 x \right )} \right )}$.

2. Производная косинус есть минус синус:

   $\frac{d}{d u} \cos{\left (u \right )} = - \sin{\left (u \right )}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \log{\left (\sin{\left (5 x \right )} \right )}$:

   1. Заменим $u = \sin{\left (5 x \right )}$.

   2. Производная $\log{\left (u \right )}$ является $\frac{1}{u}$.

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \sin{\left (5 x \right )}$:

      1. Заменим $u = 5 x$.

      2. Производная синуса есть косинус:

         $\frac{d}{d u} \sin{\left (u \right )} = \cos{\left (u \right )}$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(5 x\right)$:

         1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            Таким образом, в результате: $5$

         В результате последовательности правил:

         $5 \cos{\left (5 x \right )}$

      В результате последовательности правил:

      $\frac{5 \cos{\left (5 x \right )}}{\sin{\left (5 x \right )}}$

   В результате последовательности правил:

   $- \frac{5 \cos{\left (5 x \right )}}{\sin{\left (5 x \right )}} \sin{\left (\log{\left (\sin{\left (5 x \right )} \right )} \right )}$

4. Теперь упростим:

   $- \frac{5}{\tan{\left (5 x \right )}} \sin{\left (\log{\left (\sin{\left (5 x \right )} \right )} \right )}$

---

Ответ:

$- \frac{5}{\tan{\left (5 x \right )}} \sin{\left (\log{\left (\sin{\left (5 x \right )} \right )} \right )}$

Первая производная

-5*cos(5*x)*sin(log(sin(5*x)))
------------------------------
           sin(5*x)           

$$- \frac{5 \cos{\left (5 x \right )}}{\sin{\left (5 x \right )}} \sin{\left (\log{\left (\sin{\left (5 x \right )} \right )} \right )}$$

Вторая производная

   /   2                              2                                             \
   |cos (5*x)*sin(log(sin(5*x)))   cos (5*x)*cos(log(sin(5*x)))                     |
25*|---------------------------- - ---------------------------- + sin(log(sin(5*x)))|
   |            2                              2                                    |
   \         sin (5*x)                      sin (5*x)                               /

$$25 \left(\sin{\left (\log{\left (\sin{\left (5 x \right )} \right )} \right )} + \frac{\cos^{2}{\left (5 x \right )}}{\sin^{2}{\left (5 x \right )}} \sin{\left (\log{\left (\sin{\left (5 x \right )} \right )} \right )} - \frac{\cos^{2}{\left (5 x \right )}}{\sin^{2}{\left (5 x \right )}} \cos{\left (\log{\left (\sin{\left (5 x \right )} \right )} \right )}\right)$$

Третья производная

    /                                                  2                                2                        \         
    |                                               cos (5*x)*sin(log(sin(5*x)))   3*cos (5*x)*cos(log(sin(5*x)))|         
125*|-2*sin(log(sin(5*x))) + 3*cos(log(sin(5*x))) - ---------------------------- + ------------------------------|*cos(5*x)
    |                                                           2                               2                |         
    \                                                        sin (5*x)                       sin (5*x)           /         
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                          sin(5*x)                                                         

$$\frac{125 \cos{\left (5 x \right )}}{\sin{\left (5 x \right )}} \left(- 2 \sin{\left (\log{\left (\sin{\left (5 x \right )} \right )} \right )} + 3 \cos{\left (\log{\left (\sin{\left (5 x \right )} \right )} \right )} - \frac{\cos^{2}{\left (5 x \right )}}{\sin^{2}{\left (5 x \right )}} \sin{\left (\log{\left (\sin{\left (5 x \right )} \right )} \right )} + \frac{3 \cos^{2}{\left (5 x \right )}}{\sin^{2}{\left (5 x \right )}} \cos{\left (\log{\left (\sin{\left (5 x \right )} \right )} \right )}\right)$$