Производная cos(1/x)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение производной 😼

()'

– производная -го порядка в точке

График:

от до

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
   /  1\
cos|1*-|
   \  x/
cos(11x)\cos{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}
d /   /  1\\
--|cos|1*-||
dx\   \  x//
ddxcos(11x)\frac{d}{d x} \cos{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}
Подробное решение
  1. Заменим u=11xu = 1 \cdot \frac{1}{x}.

  2. Производная косинус есть минус синус:

    dducos(u)=sin(u)\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}

  3. Затем примените цепочку правил. Умножим на ddx11x\frac{d}{d x} 1 \cdot \frac{1}{x}:

    1. Применим правило производной частного:

      ddxf(x)g(x)=f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

      f(x)=1f{\left(x \right)} = 1 и g(x)=xg{\left(x \right)} = x.

      Чтобы найти ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

      1. Производная постоянной 11 равна нулю.

      Чтобы найти ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

      1. В силу правила, применим: xx получим 11

      Теперь применим правило производной деления:

      1x2- \frac{1}{x^{2}}

    В результате последовательности правил:

    sin(11x)x2\frac{\sin{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}}{x^{2}}

  4. Теперь упростим:

    sin(1x)x2\frac{\sin{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x^{2}}


Ответ:

sin(1x)x2\frac{\sin{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x^{2}}

График
02468-8-6-4-2-1010-100100
Первая производная [src]
   /  1\
sin|1*-|
   \  x/
--------
    2   
   x    
sin(11x)x2\frac{\sin{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}}{x^{2}}
Вторая производная [src]
 /              /1\\ 
 |           cos|-|| 
 |     /1\      \x/| 
-|2*sin|-| + ------| 
 \     \x/     x   / 
---------------------
           3         
          x          
2sin(1x)+cos(1x)xx3- \frac{2 \sin{\left(\frac{1}{x} \right)} + \frac{\cos{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x}}{x^{3}}
Третья производная [src]
              /1\        /1\
           sin|-|   6*cos|-|
     /1\      \x/        \x/
6*sin|-| - ------ + --------
     \x/      2        x    
             x              
----------------------------
              4             
             x              
6sin(1x)+6cos(1x)xsin(1x)x2x4\frac{6 \sin{\left(\frac{1}{x} \right)} + \frac{6 \cos{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x} - \frac{\sin{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x^{2}}}{x^{4}}
График
Производная cos(1/x) /media/krcore-image-pods/hash/derivative/a/63/166cb59339738f5fa3b203484e9cf.png