Производная cos(1/x)

Вы ввели

   /  1\
cos|1*-|
   \  x/

$$\cos{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}$$

d /   /  1\\
--|cos|1*-||
dx\   \  x//

$$\frac{d}{d x} \cos{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = 1 \cdot \frac{1}{x}$.

2. Производная косинус есть минус синус:

   $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} 1 \cdot \frac{1}{x}$:

   1. Применим правило производной частного:

      $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

      $f{\left(x \right)} = 1$ и $g{\left(x \right)} = x$.

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

      Теперь применим правило производной деления:

      $- \frac{1}{x^{2}}$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{\sin{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}}{x^{2}}$

4. Теперь упростим:

   $\frac{\sin{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x^{2}}$

---

Ответ:

$\frac{\sin{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x^{2}}$

Первая производная

   /  1\
sin|1*-|
   \  x/
--------
    2   
   x    

$$\frac{\sin{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}}{x^{2}}$$

Вторая производная

 /              /1\\ 
 |           cos|-|| 
 |     /1\      \x/| 
-|2*sin|-| + ------| 
 \     \x/     x   / 
---------------------
           3         
          x          

$$- \frac{2 \sin{\left(\frac{1}{x} \right)} + \frac{\cos{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x}}{x^{3}}$$

Третья производная

              /1\        /1\
           sin|-|   6*cos|-|
     /1\      \x/        \x/
6*sin|-| - ------ + --------
     \x/      2        x    
             x              
----------------------------
              4             
             x              

$$\frac{6 \sin{\left(\frac{1}{x} \right)} + \frac{6 \cos{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x} - \frac{\sin{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x^{2}}}{x^{4}}$$

График