Производная cos(1/x)/x

Вы ввели

   /1\
cos|-|
   \x/
------
  x   

$$\frac{1}{x} \cos{\left (\frac{1}{x} \right )}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = \cos{\left (\frac{1}{x} \right )}$ и $g{\left (x \right )} = x$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. Заменим $u = \frac{1}{x}$.

   2. Производная косинус есть минус синус:

      $\frac{d}{d u} \cos{\left (u \right )} = - \sin{\left (u \right )}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \frac{1}{x}$:

      1. В силу правила, применим: $\frac{1}{x}$ получим $- \frac{1}{x^{2}}$

      В результате последовательности правил:

      $\frac{1}{x^{2}} \sin{\left (\frac{1}{x} \right )}$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{1}{x^{2}} \left(- \cos{\left (\frac{1}{x} \right )} + \frac{1}{x} \sin{\left (\frac{1}{x} \right )}\right)$

2. Теперь упростим:

   $\frac{1}{x^{3}} \left(- x \cos{\left (\frac{1}{x} \right )} + \sin{\left (\frac{1}{x} \right )}\right)$

---

Ответ:

$\frac{1}{x^{3}} \left(- x \cos{\left (\frac{1}{x} \right )} + \sin{\left (\frac{1}{x} \right )}\right)$

Первая производная

   /1\      /1\
sin|-|   cos|-|
   \x/      \x/
------ - ------
   3        2  
  x        x   

$$- \frac{1}{x^{2}} \cos{\left (\frac{1}{x} \right )} + \frac{1}{x^{3}} \sin{\left (\frac{1}{x} \right )}$$

Вторая производная

              /1\        /1\
           cos|-|   4*sin|-|
     /1\      \x/        \x/
2*cos|-| - ------ - --------
     \x/      2        x    
             x              
----------------------------
              3             
             x              

$$\frac{1}{x^{3}} \left(2 \cos{\left (\frac{1}{x} \right )} - \frac{4}{x} \sin{\left (\frac{1}{x} \right )} - \frac{1}{x^{2}} \cos{\left (\frac{1}{x} \right )}\right)$$

Третья производная

                /1\        /1\         /1\
             sin|-|   9*cos|-|   18*sin|-|
       /1\      \x/        \x/         \x/
- 6*cos|-| - ------ + -------- + ---------
       \x/      3         2          x    
               x         x                
------------------------------------------
                     4                    
                    x                     

$$\frac{1}{x^{4}} \left(- 6 \cos{\left (\frac{1}{x} \right )} + \frac{18}{x} \sin{\left (\frac{1}{x} \right )} + \frac{9}{x^{2}} \cos{\left (\frac{1}{x} \right )} - \frac{1}{x^{3}} \sin{\left (\frac{1}{x} \right )}\right)$$