Производная cos(1/x^2)

Вы ввели

   /  1 \
cos|1*--|
   |   2|
   \  x /

$$\cos{\left(1 \cdot \frac{1}{x^{2}} \right)}$$

d /   /  1 \\
--|cos|1*--||
dx|   |   2||
  \   \  x //

$$\frac{d}{d x} \cos{\left(1 \cdot \frac{1}{x^{2}} \right)}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = 1 \cdot \frac{1}{x^{2}}$.

2. Производная косинус есть минус синус:

   $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} 1 \cdot \frac{1}{x^{2}}$:

   1. Применим правило производной частного:

      $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

      $f{\left(x \right)} = 1$ и $g{\left(x \right)} = x^{2}$.

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. В силу правила, применим: $x^{2}$ получим $2 x$

      Теперь применим правило производной деления:

      $- \frac{2}{x^{3}}$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{2 \sin{\left(1 \cdot \frac{1}{x^{2}} \right)}}{x^{3}}$

4. Теперь упростим:

   $\frac{2 \sin{\left(\frac{1}{x^{2}} \right)}}{x^{3}}$

---

Ответ:

$\frac{2 \sin{\left(\frac{1}{x^{2}} \right)}}{x^{3}}$

Первая производная

     /  1 \
2*sin|1*--|
     |   2|
     \  x /
-----------
      3    
     x     

$$\frac{2 \sin{\left(1 \cdot \frac{1}{x^{2}} \right)}}{x^{3}}$$

Вторая производная

   /                 /1 \\
   |            2*cos|--||
   |                 | 2||
   |     /1 \        \x /|
-2*|3*sin|--| + ---------|
   |     | 2|        2   |
   \     \x /       x    /
--------------------------
             4            
            x             

$$- \frac{2 \cdot \left(3 \sin{\left(\frac{1}{x^{2}} \right)} + \frac{2 \cos{\left(\frac{1}{x^{2}} \right)}}{x^{2}}\right)}{x^{4}}$$

Третья производная

  /                 /1 \        /1 \\
  |            2*sin|--|   9*cos|--||
  |                 | 2|        | 2||
  |     /1 \        \x /        \x /|
4*|6*sin|--| - --------- + ---------|
  |     | 2|        4           2   |
  \     \x /       x           x    /
-------------------------------------
                   5                 
                  x                  

$$\frac{4 \cdot \left(6 \sin{\left(\frac{1}{x^{2}} \right)} + \frac{9 \cos{\left(\frac{1}{x^{2}} \right)}}{x^{2}} - \frac{2 \sin{\left(\frac{1}{x^{2}} \right)}}{x^{4}}\right)}{x^{5}}$$

График