Производная функции/ От одной переменной/ y' = (cos(sin(x))*cos(x))'

Производная cos(sin(x))*cos(x)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение производной 😼

()'

– производная -го порядка в точке

Примеры

График:

от до

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
cos(sin(x))*cos(x)
cos⁡(x)cos⁡(sin⁡(x))\cos{\left (x \right )} \cos{\left (\sin{\left (x \right )} \right )}
Подробное решение

  1. Применяем правило производной умножения:

    ddx(f(x)g(x))=f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)\frac{d}{d x}\left(f{\left (x \right )} g{\left (x \right )}\right) = f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}

    f(x)=cos⁡(sin⁡(x))f{\left (x \right )} = \cos{\left (\sin{\left (x \right )} \right )}; найдём ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}:

    1. Заменим u=sin⁡(x)u = \sin{\left (x \right )}.

    2. Производная косинус есть минус синус:

      dducos⁡(u)=−sin⁡(u)\frac{d}{d u} \cos{\left (u \right )} = - \sin{\left (u \right )}

    3. Затем примените цепочку правил. Умножим на ddxsin⁡(x)\frac{d}{d x} \sin{\left (x \right )}:

      1. Производная синуса есть косинус:

        ddxsin⁡(x)=cos⁡(x)\frac{d}{d x} \sin{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )}

      В результате последовательности правил:

      −sin⁡(sin⁡(x))cos⁡(x)- \sin{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} \cos{\left (x \right )}

    g(x)=cos⁡(x)g{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )}; найдём ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}:

    1. Производная косинус есть минус синус:

      ddxcos⁡(x)=−sin⁡(x)\frac{d}{d x} \cos{\left (x \right )} = - \sin{\left (x \right )}

    В результате: −sin⁡(x)cos⁡(sin⁡(x))−sin⁡(sin⁡(x))cos⁡2(x)- \sin{\left (x \right )} \cos{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} - \sin{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} \cos^{2}{\left (x \right )}

Ответ:

−sin⁡(x)cos⁡(sin⁡(x))−sin⁡(sin⁡(x))cos⁡2(x)- \sin{\left (x \right )} \cos{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} - \sin{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} \cos^{2}{\left (x \right )}

График
02468-8-6-4-2-10102-2
Первая производная [src]
     2                                    
- cos (x)*sin(sin(x)) - cos(sin(x))*sin(x)
−sin⁡(x)cos⁡(sin⁡(x))−sin⁡(sin⁡(x))cos⁡2(x)- \sin{\left (x \right )} \cos{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} - \sin{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} \cos^{2}{\left (x \right )}
Упростить
Вторая производная [src]
/                  2                                      \       
\-cos(sin(x)) - cos (x)*cos(sin(x)) + 3*sin(x)*sin(sin(x))/*cos(x)
(3sin⁡(x)sin⁡(sin⁡(x))−cos⁡2(x)cos⁡(sin⁡(x))−cos⁡(sin⁡(x)))cos⁡(x)\left(3 \sin{\left (x \right )} \sin{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} - \cos^{2}{\left (x \right )} \cos{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} - \cos{\left (\sin{\left (x \right )} \right )}\right) \cos{\left (x \right )}
Упростить
Третья производная [src]
   4                                            2                       2                       2                      
cos (x)*sin(sin(x)) + cos(sin(x))*sin(x) - 3*sin (x)*sin(sin(x)) + 4*cos (x)*sin(sin(x)) + 6*cos (x)*cos(sin(x))*sin(x)
−3sin⁡2(x)sin⁡(sin⁡(x))+6sin⁡(x)cos⁡2(x)cos⁡(sin⁡(x))+sin⁡(x)cos⁡(sin⁡(x))+sin⁡(sin⁡(x))cos⁡4(x)+4sin⁡(sin⁡(x))cos⁡2(x)- 3 \sin^{2}{\left (x \right )} \sin{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} + 6 \sin{\left (x \right )} \cos^{2}{\left (x \right )} \cos{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} + \sin{\left (x \right )} \cos{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} + \sin{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} \cos^{4}{\left (x \right )} + 4 \sin{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} \cos^{2}{\left (x \right )}
Упростить