Производная cos(sin(x))*cos(x)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение производной 😼

()'

– производная -го порядка в точке

График:

от до

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
cos(sin(x))*cos(x)
cos(x)cos(sin(x))\cos{\left (x \right )} \cos{\left (\sin{\left (x \right )} \right )}
Подробное решение
  1. Применяем правило производной умножения:

    ddx(f(x)g(x))=f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)\frac{d}{d x}\left(f{\left (x \right )} g{\left (x \right )}\right) = f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}

    f(x)=cos(sin(x))f{\left (x \right )} = \cos{\left (\sin{\left (x \right )} \right )}; найдём ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}:

    1. Заменим u=sin(x)u = \sin{\left (x \right )}.

    2. Производная косинус есть минус синус:

      dducos(u)=sin(u)\frac{d}{d u} \cos{\left (u \right )} = - \sin{\left (u \right )}

    3. Затем примените цепочку правил. Умножим на ddxsin(x)\frac{d}{d x} \sin{\left (x \right )}:

      1. Производная синуса есть косинус:

        ddxsin(x)=cos(x)\frac{d}{d x} \sin{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )}

      В результате последовательности правил:

      sin(sin(x))cos(x)- \sin{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} \cos{\left (x \right )}

    g(x)=cos(x)g{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )}; найдём ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}:

    1. Производная косинус есть минус синус:

      ddxcos(x)=sin(x)\frac{d}{d x} \cos{\left (x \right )} = - \sin{\left (x \right )}

    В результате: sin(x)cos(sin(x))sin(sin(x))cos2(x)- \sin{\left (x \right )} \cos{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} - \sin{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} \cos^{2}{\left (x \right )}


Ответ:

sin(x)cos(sin(x))sin(sin(x))cos2(x)- \sin{\left (x \right )} \cos{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} - \sin{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} \cos^{2}{\left (x \right )}

График
02468-8-6-4-2-10102-2
Первая производная [src]
     2                                    
- cos (x)*sin(sin(x)) - cos(sin(x))*sin(x)
sin(x)cos(sin(x))sin(sin(x))cos2(x)- \sin{\left (x \right )} \cos{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} - \sin{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} \cos^{2}{\left (x \right )}
Вторая производная [src]
/                  2                                      \       
\-cos(sin(x)) - cos (x)*cos(sin(x)) + 3*sin(x)*sin(sin(x))/*cos(x)
(3sin(x)sin(sin(x))cos2(x)cos(sin(x))cos(sin(x)))cos(x)\left(3 \sin{\left (x \right )} \sin{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} - \cos^{2}{\left (x \right )} \cos{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} - \cos{\left (\sin{\left (x \right )} \right )}\right) \cos{\left (x \right )}
Третья производная [src]
   4                                            2                       2                       2                      
cos (x)*sin(sin(x)) + cos(sin(x))*sin(x) - 3*sin (x)*sin(sin(x)) + 4*cos (x)*sin(sin(x)) + 6*cos (x)*cos(sin(x))*sin(x)
3sin2(x)sin(sin(x))+6sin(x)cos2(x)cos(sin(x))+sin(x)cos(sin(x))+sin(sin(x))cos4(x)+4sin(sin(x))cos2(x)- 3 \sin^{2}{\left (x \right )} \sin{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} + 6 \sin{\left (x \right )} \cos^{2}{\left (x \right )} \cos{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} + \sin{\left (x \right )} \cos{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} + \sin{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} \cos^{4}{\left (x \right )} + 4 \sin{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} \cos^{2}{\left (x \right )}