Производная cos(sin(x))^(2)

Вы ввели

   2        
cos (sin(x))

$$\cos^{2}{\left (\sin{\left (x \right )} \right )}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \cos{\left (\sin{\left (x \right )} \right )}$.

2. В силу правила, применим: $u^{2}$ получим $2 u$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \cos{\left (\sin{\left (x \right )} \right )}$:

   1. Заменим $u = \sin{\left (x \right )}$.

   2. Производная косинус есть минус синус:

      $\frac{d}{d u} \cos{\left (u \right )} = - \sin{\left (u \right )}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \sin{\left (x \right )}$:

      1. Производная синуса есть косинус:

         $\frac{d}{d x} \sin{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )}$

      В результате последовательности правил:

      $- \sin{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} \cos{\left (x \right )}$

   В результате последовательности правил:

   $- 2 \sin{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} \cos{\left (x \right )} \cos{\left (\sin{\left (x \right )} \right )}$

4. Теперь упростим:

   $\frac{1}{2} \sin{\left (x - 2 \sin{\left (x \right )} \right )} - \frac{1}{2} \sin{\left (x + 2 \sin{\left (x \right )} \right )}$

---

Ответ:

$\frac{1}{2} \sin{\left (x - 2 \sin{\left (x \right )} \right )} - \frac{1}{2} \sin{\left (x + 2 \sin{\left (x \right )} \right )}$

Первая производная

-2*cos(x)*cos(sin(x))*sin(sin(x))

$$- 2 \sin{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} \cos{\left (x \right )} \cos{\left (\sin{\left (x \right )} \right )}$$

Вторая производная

  /   2       2              2       2                                         \
2*\cos (x)*sin (sin(x)) - cos (x)*cos (sin(x)) + cos(sin(x))*sin(x)*sin(sin(x))/

$$2 \left(\sin{\left (x \right )} \sin{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} \cos{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} + \sin^{2}{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} \cos^{2}{\left (x \right )} - \cos^{2}{\left (x \right )} \cos^{2}{\left (\sin{\left (x \right )} \right )}\right)$$

Третья производная

  /                               2                       2                       2                           \       
2*\cos(sin(x))*sin(sin(x)) - 3*sin (sin(x))*sin(x) + 3*cos (sin(x))*sin(x) + 4*cos (x)*cos(sin(x))*sin(sin(x))/*cos(x)

$$2 \left(- 3 \sin{\left (x \right )} \sin^{2}{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} + 3 \sin{\left (x \right )} \cos^{2}{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} + 4 \sin{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} \cos^{2}{\left (x \right )} \cos{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} + \sin{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} \cos{\left (\sin{\left (x \right )} \right )}\right) \cos{\left (x \right )}$$