Производная cos(tan(x))

Вы ввели

cos(tan(x))

$$\cos{\left (\tan{\left (x \right )} \right )}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \tan{\left (x \right )}$.

2. Производная косинус есть минус синус:

   $\frac{d}{d u} \cos{\left (u \right )} = - \sin{\left (u \right )}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \tan{\left (x \right )}$:

   1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

      Один из способов:

      1. $\frac{d}{d x} \tan{\left (x \right )} = \frac{1}{\cos^{2}{\left (x \right )}}$

   В результате последовательности правил:

   $- \frac{\sin{\left (\tan{\left (x \right )} \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )}} \left(\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}\right)$

4. Теперь упростим:

   $- \frac{\sin{\left (\tan{\left (x \right )} \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )}}$

---

Ответ:

$- \frac{\sin{\left (\tan{\left (x \right )} \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )}}$

Первая производная

 /       2   \            
-\1 + tan (x)/*sin(tan(x))

$$- \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \sin{\left (\tan{\left (x \right )} \right )}$$

Вторая производная

 /       2   \ //       2   \                                   \
-\1 + tan (x)/*\\1 + tan (x)/*cos(tan(x)) + 2*sin(tan(x))*tan(x)/

$$- \left(\left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \cos{\left (\tan{\left (x \right )} \right )} + 2 \sin{\left (\tan{\left (x \right )} \right )} \tan{\left (x \right )}\right) \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right)$$

Третья производная

              /             2                                                                                                       \
/       2   \ |/       2   \                     2                    /       2   \                 /       2   \                   |
\1 + tan (x)/*\\1 + tan (x)/ *sin(tan(x)) - 4*tan (x)*sin(tan(x)) - 2*\1 + tan (x)/*sin(tan(x)) - 6*\1 + tan (x)/*cos(tan(x))*tan(x)/

$$\left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \left(\left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right)^{2} \sin{\left (\tan{\left (x \right )} \right )} - 2 \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \sin{\left (\tan{\left (x \right )} \right )} - 6 \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \cos{\left (\tan{\left (x \right )} \right )} \tan{\left (x \right )} - 4 \sin{\left (\tan{\left (x \right )} \right )} \tan^{2}{\left (x \right )}\right)$$