Производная cos(x/4)^(3)

Вы ввели

   3/x\
cos |-|
    \4/

$$\cos^{3}{\left (\frac{x}{4} \right )}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \cos{\left (\frac{x}{4} \right )}$.

2. В силу правила, применим: $u^{3}$ получим $3 u^{2}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \cos{\left (\frac{x}{4} \right )}$:

   1. Заменим $u = \frac{x}{4}$.

   2. Производная косинус есть минус синус:

      $\frac{d}{d u} \cos{\left (u \right )} = - \sin{\left (u \right )}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(\frac{x}{4}\right)$:

      1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         Таким образом, в результате: $\frac{1}{4}$

      В результате последовательности правил:

      $- \frac{1}{4} \sin{\left (\frac{x}{4} \right )}$

   В результате последовательности правил:

   $- \frac{3}{4} \sin{\left (\frac{x}{4} \right )} \cos^{2}{\left (\frac{x}{4} \right )}$

4. Теперь упростим:

   $- \frac{3}{4} \sin{\left (\frac{x}{4} \right )} \cos^{2}{\left (\frac{x}{4} \right )}$

---

Ответ:

$- \frac{3}{4} \sin{\left (\frac{x}{4} \right )} \cos^{2}{\left (\frac{x}{4} \right )}$

Первая производная

      2/x\    /x\
-3*cos |-|*sin|-|
       \4/    \4/
-----------------
        4        

$$- \frac{3}{4} \sin{\left (\frac{x}{4} \right )} \cos^{2}{\left (\frac{x}{4} \right )}$$

Вторая производная

  /     2/x\        2/x\\    /x\
3*|- cos |-| + 2*sin |-||*cos|-|
  \      \4/         \4//    \4/
--------------------------------
               16               

$$\frac{3}{16} \left(2 \sin^{2}{\left (\frac{x}{4} \right )} - \cos^{2}{\left (\frac{x}{4} \right )}\right) \cos{\left (\frac{x}{4} \right )}$$

Третья производная

  /       2/x\        2/x\\    /x\
3*|- 2*sin |-| + 7*cos |-||*sin|-|
  \        \4/         \4//    \4/
----------------------------------
                64                

$$\frac{3}{64} \left(- 2 \sin^{2}{\left (\frac{x}{4} \right )} + 7 \cos^{2}{\left (\frac{x}{4} \right )}\right) \sin{\left (\frac{x}{4} \right )}$$