Производная функции/ От одной переменной/ y' = (cos(x)/(2+sin(x)))'

Производная cos(x)/(2+sin(x))

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение производной 😼

()'

– производная -го порядка в точке

Примеры

График:

от до

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
  cos(x)  
----------
2 + sin(x)
cos⁡(x)sin⁡(x)+2\frac{\cos{\left (x \right )}}{\sin{\left (x \right )} + 2}
Подробное решение

  1. Применим правило производной частного:

    ddx(f(x)g(x))=1g2(x)(−f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x))\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)

    f(x)=cos⁡(x)f{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )} и g(x)=sin⁡(x)+2g{\left (x \right )} = \sin{\left (x \right )} + 2.

    Чтобы найти ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}:

    1. Производная косинус есть минус синус:

      ddxcos⁡(x)=−sin⁡(x)\frac{d}{d x} \cos{\left (x \right )} = - \sin{\left (x \right )}

    Чтобы найти ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}:

    1. дифференцируем sin⁡(x)+2\sin{\left (x \right )} + 2 почленно:

      1. Производная постоянной 22 равна нулю.

      2. Производная синуса есть косинус:

        ddxsin⁡(x)=cos⁡(x)\frac{d}{d x} \sin{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )}

      В результате: cos⁡(x)\cos{\left (x \right )}

    Теперь применим правило производной деления:

    1(sin⁡(x)+2)2(−(sin⁡(x)+2)sin⁡(x)−cos⁡2(x))\frac{1}{\left(\sin{\left (x \right )} + 2\right)^{2}} \left(- \left(\sin{\left (x \right )} + 2\right) \sin{\left (x \right )} - \cos^{2}{\left (x \right )}\right)

  2. Теперь упростим:

    −2sin⁡(x)+1(sin⁡(x)+2)2- \frac{2 \sin{\left (x \right )} + 1}{\left(\sin{\left (x \right )} + 2\right)^{2}}

Ответ:

−2sin⁡(x)+1(sin⁡(x)+2)2- \frac{2 \sin{\left (x \right )} + 1}{\left(\sin{\left (x \right )} + 2\right)^{2}}

График
02468-8-6-4-2-10102-2
Первая производная [src]
                     2      
    sin(x)        cos (x)   
- ---------- - -------------
  2 + sin(x)               2
               (2 + sin(x))
−sin⁡(x)sin⁡(x)+2−cos⁡2(x)(sin⁡(x)+2)2- \frac{\sin{\left (x \right )}}{\sin{\left (x \right )} + 2} - \frac{\cos^{2}{\left (x \right )}}{\left(\sin{\left (x \right )} + 2\right)^{2}}
Упростить
Вторая производная [src]
/            2                  \       
|       2*cos (x)      3*sin(x) |       
|-1 + ------------- + ----------|*cos(x)
|                 2   2 + sin(x)|       
\     (2 + sin(x))              /       
----------------------------------------
               2 + sin(x)
cos⁡(x)sin⁡(x)+2(−1+3sin⁡(x)sin⁡(x)+2+2cos⁡2(x)(sin⁡(x)+2)2)\frac{\cos{\left (x \right )}}{\sin{\left (x \right )} + 2} \left(-1 + \frac{3 \sin{\left (x \right )}}{\sin{\left (x \right )} + 2} + \frac{2 \cos^{2}{\left (x \right )}}{\left(\sin{\left (x \right )} + 2\right)^{2}}\right)
Упростить
Третья производная [src]
         4             2            2             2                   
    6*cos (x)     3*sin (x)    4*cos (x)    12*cos (x)*sin(x)         
- ------------- - ---------- + ---------- - ----------------- + sin(x)
              3   2 + sin(x)   2 + sin(x)                 2           
  (2 + sin(x))                                (2 + sin(x))            
----------------------------------------------------------------------
                              2 + sin(x)
1sin⁡(x)+2(sin⁡(x)−3sin⁡2(x)sin⁡(x)+2+4cos⁡2(x)sin⁡(x)+2−12sin⁡(x)cos⁡2(x)(sin⁡(x)+2)2−6cos⁡4(x)(sin⁡(x)+2)3)\frac{1}{\sin{\left (x \right )} + 2} \left(\sin{\left (x \right )} - \frac{3 \sin^{2}{\left (x \right )}}{\sin{\left (x \right )} + 2} + \frac{4 \cos^{2}{\left (x \right )}}{\sin{\left (x \right )} + 2} - \frac{12 \sin{\left (x \right )} \cos^{2}{\left (x \right )}}{\left(\sin{\left (x \right )} + 2\right)^{2}} - \frac{6 \cos^{4}{\left (x \right )}}{\left(\sin{\left (x \right )} + 2\right)^{3}}\right)
Упростить