Производная (cos(x/2))^2

Вы ввели

   2/x\
cos |-|
    \2/

$$\cos^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \cos{\left (\frac{x}{2} \right )}$.

2. В силу правила, применим: $u^{2}$ получим $2 u$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \cos{\left (\frac{x}{2} \right )}$:

   1. Заменим $u = \frac{x}{2}$.

   2. Производная косинус есть минус синус:

      $\frac{d}{d u} \cos{\left (u \right )} = - \sin{\left (u \right )}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(\frac{x}{2}\right)$:

      1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         Таким образом, в результате: $\frac{1}{2}$

      В результате последовательности правил:

      $- \frac{1}{2} \sin{\left (\frac{x}{2} \right )}$

   В результате последовательности правил:

   $- \sin{\left (\frac{x}{2} \right )} \cos{\left (\frac{x}{2} \right )}$

4. Теперь упростим:

   $- \frac{1}{2} \sin{\left (x \right )}$

---

Ответ:

$- \frac{1}{2} \sin{\left (x \right )}$

Первая производная

    /x\    /x\
-cos|-|*sin|-|
    \2/    \2/

$$- \sin{\left (\frac{x}{2} \right )} \cos{\left (\frac{x}{2} \right )}$$

Вторая производная

   2/x\      2/x\
sin |-| - cos |-|
    \2/       \2/
-----------------
        2        

$$\frac{1}{2} \left(\sin^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )} - \cos^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )}\right)$$

Третья производная

   /x\    /x\
cos|-|*sin|-|
   \2/    \2/

$$\sin{\left (\frac{x}{2} \right )} \cos{\left (\frac{x}{2} \right )}$$