Производная cos(x)/(1-cos(x))

Вы ввели

  cos(x)  
----------
1 - cos(x)

$$\frac{\cos{\left (x \right )}}{- \cos{\left (x \right )} + 1}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )}$ и $g{\left (x \right )} = - \cos{\left (x \right )} + 1$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. Производная косинус есть минус синус:

      $\frac{d}{d x} \cos{\left (x \right )} = - \sin{\left (x \right )}$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. дифференцируем $- \cos{\left (x \right )} + 1$ почленно:

      1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

      2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. Производная косинус есть минус синус:

            $\frac{d}{d x} \cos{\left (x \right )} = - \sin{\left (x \right )}$

         Таким образом, в результате: $\sin{\left (x \right )}$

      В результате: $\sin{\left (x \right )}$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{1}{\left(- \cos{\left (x \right )} + 1\right)^{2}} \left(- \left(- \cos{\left (x \right )} + 1\right) \sin{\left (x \right )} - \sin{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )}\right)$

2. Теперь упростим:

   $- \frac{\sin{\left (x \right )}}{\left(\cos{\left (x \right )} - 1\right)^{2}}$

---

Ответ:

$- \frac{\sin{\left (x \right )}}{\left(\cos{\left (x \right )} - 1\right)^{2}}$

Первая производная

    sin(x)     cos(x)*sin(x)
- ---------- - -------------
  1 - cos(x)               2
               (1 - cos(x)) 

$$- \frac{\sin{\left (x \right )}}{- \cos{\left (x \right )} + 1} - \frac{\sin{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )}}{\left(- \cos{\left (x \right )} + 1\right)^{2}}$$

Вторая производная

       2              2            2                   
    cos (x)      2*sin (x)    2*sin (x)*cos(x)         
- ----------- + ----------- - ---------------- + cos(x)
  -1 + cos(x)   -1 + cos(x)                 2          
                               (-1 + cos(x))           
-------------------------------------------------------
                      -1 + cos(x)                      

$$\frac{1}{\cos{\left (x \right )} - 1} \left(\cos{\left (x \right )} + \frac{2 \sin^{2}{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )} - 1} - \frac{\cos^{2}{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )} - 1} - \frac{2 \sin^{2}{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )}}{\left(\cos{\left (x \right )} - 1\right)^{2}}\right)$$

Третья производная

/            2                2                            2          \       
|       6*cos (x)        6*sin (x)        7*cos(x)    6*sin (x)*cos(x)|       
|-1 - -------------- + -------------- + ----------- - ----------------|*sin(x)
|                  2                2   -1 + cos(x)                 3 |       
\     (-1 + cos(x))    (-1 + cos(x))                   (-1 + cos(x))  /       
------------------------------------------------------------------------------
                                 -1 + cos(x)                                  

$$\frac{\sin{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )} - 1} \left(-1 + \frac{7 \cos{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )} - 1} + \frac{6 \sin^{2}{\left (x \right )}}{\left(\cos{\left (x \right )} - 1\right)^{2}} - \frac{6 \cos^{2}{\left (x \right )}}{\left(\cos{\left (x \right )} - 1\right)^{2}} - \frac{6 \sin^{2}{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )}}{\left(\cos{\left (x \right )} - 1\right)^{3}}\right)$$