Производная ((cos(x))/(1-sin(x)))

Вы ввели

  cos(x)  
----------
1 - sin(x)

$$\frac{\cos{\left(x \right)}}{1 - \sin{\left(x \right)}}$$

d /  cos(x)  \
--|----------|
dx\1 - sin(x)/

$$\frac{d}{d x} \frac{\cos{\left(x \right)}}{1 - \sin{\left(x \right)}}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$ и $g{\left(x \right)} = 1 - \sin{\left(x \right)}$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Производная косинус есть минус синус:

      $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. дифференцируем $1 - \sin{\left(x \right)}$ почленно:

      1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

      2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. Производная синуса есть косинус:

            $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

         Таким образом, в результате: $- \cos{\left(x \right)}$

      В результате: $- \cos{\left(x \right)}$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{- \left(1 - \sin{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\left(1 - \sin{\left(x \right)}\right)^{2}}$

2. Теперь упростим:

   $- \frac{1}{\sin{\left(x \right)} - 1}$

---

Ответ:

$- \frac{1}{\sin{\left(x \right)} - 1}$

Первая производная

      2                   
   cos (x)        sin(x)  
------------- - ----------
            2   1 - sin(x)
(1 - sin(x))              

$$- \frac{\sin{\left(x \right)}}{1 - \sin{\left(x \right)}} + \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{\left(1 - \sin{\left(x \right)}\right)^{2}}$$

Вторая производная

/          2                           \       
|     2*cos (x)                        |       
|    ----------- + sin(x)              |       
|    -1 + sin(x)              2*sin(x) |       
|1 - -------------------- - -----------|*cos(x)
\        -1 + sin(x)        -1 + sin(x)/       
-----------------------------------------------
                  -1 + sin(x)                  

$$\frac{\left(1 - \frac{\sin{\left(x \right)} + \frac{2 \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} - 1}}{\sin{\left(x \right)} - 1} - \frac{2 \sin{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} - 1}\right) \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} - 1}$$

Третья производная

                                /                          2      \                                  
                           2    |       6*sin(x)      6*cos (x)   |     /      2             \       
                        cos (x)*|-1 + ----------- + --------------|     | 2*cos (x)          |       
                2               |     -1 + sin(x)                2|   3*|----------- + sin(x)|*sin(x)
           3*cos (x)            \                   (-1 + sin(x)) /     \-1 + sin(x)         /       
-sin(x) - ----------- + ------------------------------------------- + -------------------------------
          -1 + sin(x)                   -1 + sin(x)                             -1 + sin(x)          
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
                                             -1 + sin(x)                                             

$$\frac{- \sin{\left(x \right)} + \frac{3 \left(\sin{\left(x \right)} + \frac{2 \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} - 1}\right) \sin{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} - 1} + \frac{\left(-1 + \frac{6 \sin{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} - 1} + \frac{6 \cos^{2}{\left(x \right)}}{\left(\sin{\left(x \right)} - 1\right)^{2}}\right) \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} - 1} - \frac{3 \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} - 1}}{\sin{\left(x \right)} - 1}$$

График