Производная функции/ От одной переменной/ y' = (cos(x)/(1+sin(x)))'

Производная cos(x)/(1+sin(x))

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение производной 😼

()'

– производная -го порядка в точке

Примеры

График:

от до

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
  cos(x)  
----------
1 + sin(x)
cos⁡(x)sin⁡(x)+1\frac{\cos{\left (x \right )}}{\sin{\left (x \right )} + 1}
Подробное решение

  1. Применим правило производной частного:

    ddx(f(x)g(x))=1g2(x)(−f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x))\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)

    f(x)=cos⁡(x)f{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )} и g(x)=sin⁡(x)+1g{\left (x \right )} = \sin{\left (x \right )} + 1.

    Чтобы найти ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}:

    1. Производная косинус есть минус синус:

      ddxcos⁡(x)=−sin⁡(x)\frac{d}{d x} \cos{\left (x \right )} = - \sin{\left (x \right )}

    Чтобы найти ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}:

    1. дифференцируем sin⁡(x)+1\sin{\left (x \right )} + 1 почленно:

      1. Производная постоянной 11 равна нулю.

      2. Производная синуса есть косинус:

        ddxsin⁡(x)=cos⁡(x)\frac{d}{d x} \sin{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )}

      В результате: cos⁡(x)\cos{\left (x \right )}

    Теперь применим правило производной деления:

    1(sin⁡(x)+1)2(−(sin⁡(x)+1)sin⁡(x)−cos⁡2(x))\frac{1}{\left(\sin{\left (x \right )} + 1\right)^{2}} \left(- \left(\sin{\left (x \right )} + 1\right) \sin{\left (x \right )} - \cos^{2}{\left (x \right )}\right)

  2. Теперь упростим:

    −1sin⁡(x)+1- \frac{1}{\sin{\left (x \right )} + 1}

Ответ:

−1sin⁡(x)+1- \frac{1}{\sin{\left (x \right )} + 1}

График
02468-8-6-4-2-1010-20002000
Первая производная [src]
                     2      
    sin(x)        cos (x)   
- ---------- - -------------
  1 + sin(x)               2
               (1 + sin(x))
−sin⁡(x)sin⁡(x)+1−cos⁡2(x)(sin⁡(x)+1)2- \frac{\sin{\left (x \right )}}{\sin{\left (x \right )} + 1} - \frac{\cos^{2}{\left (x \right )}}{\left(\sin{\left (x \right )} + 1\right)^{2}}
Упростить
Вторая производная [src]
/            2                  \       
|       2*cos (x)      3*sin(x) |       
|-1 + ------------- + ----------|*cos(x)
|                 2   1 + sin(x)|       
\     (1 + sin(x))              /       
----------------------------------------
               1 + sin(x)
cos⁡(x)sin⁡(x)+1(−1+3sin⁡(x)sin⁡(x)+1+2cos⁡2(x)(sin⁡(x)+1)2)\frac{\cos{\left (x \right )}}{\sin{\left (x \right )} + 1} \left(-1 + \frac{3 \sin{\left (x \right )}}{\sin{\left (x \right )} + 1} + \frac{2 \cos^{2}{\left (x \right )}}{\left(\sin{\left (x \right )} + 1\right)^{2}}\right)
Упростить
Третья производная [src]
         4             2            2             2                   
    6*cos (x)     3*sin (x)    4*cos (x)    12*cos (x)*sin(x)         
- ------------- - ---------- + ---------- - ----------------- + sin(x)
              3   1 + sin(x)   1 + sin(x)                 2           
  (1 + sin(x))                                (1 + sin(x))            
----------------------------------------------------------------------
                              1 + sin(x)
1sin⁡(x)+1(sin⁡(x)−3sin⁡2(x)sin⁡(x)+1+4cos⁡2(x)sin⁡(x)+1−12sin⁡(x)cos⁡2(x)(sin⁡(x)+1)2−6cos⁡4(x)(sin⁡(x)+1)3)\frac{1}{\sin{\left (x \right )} + 1} \left(\sin{\left (x \right )} - \frac{3 \sin^{2}{\left (x \right )}}{\sin{\left (x \right )} + 1} + \frac{4 \cos^{2}{\left (x \right )}}{\sin{\left (x \right )} + 1} - \frac{12 \sin{\left (x \right )} \cos^{2}{\left (x \right )}}{\left(\sin{\left (x \right )} + 1\right)^{2}} - \frac{6 \cos^{4}{\left (x \right )}}{\left(\sin{\left (x \right )} + 1\right)^{3}}\right)
Упростить