Производная cos(x)/(1+x)

Вы ввели

cos(x)
------
1 + x 

$$\frac{\cos{\left (x \right )}}{x + 1}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )}$ и $g{\left (x \right )} = x + 1$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. Производная косинус есть минус синус:

      $\frac{d}{d x} \cos{\left (x \right )} = - \sin{\left (x \right )}$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. дифференцируем $x + 1$ почленно:

      1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

      2. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

      В результате: $1$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}} \left(- \left(x + 1\right) \sin{\left (x \right )} - \cos{\left (x \right )}\right)$

2. Теперь упростим:

   $- \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}} \left(\left(x + 1\right) \sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}\right)$

---

Ответ:

$- \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}} \left(\left(x + 1\right) \sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}\right)$

Первая производная

  sin(x)    cos(x) 
- ------ - --------
  1 + x           2
           (1 + x) 

$$- \frac{\sin{\left (x \right )}}{x + 1} - \frac{\cos{\left (x \right )}}{\left(x + 1\right)^{2}}$$

Вторая производная

          2*sin(x)   2*cos(x)
-cos(x) + -------- + --------
           1 + x            2
                     (1 + x) 
-----------------------------
            1 + x            

$$\frac{1}{x + 1} \left(- \cos{\left (x \right )} + \frac{2 \sin{\left (x \right )}}{x + 1} + \frac{2 \cos{\left (x \right )}}{\left(x + 1\right)^{2}}\right)$$

Третья производная

  6*cos(x)   6*sin(x)   3*cos(x)         
- -------- - -------- + -------- + sin(x)
         3          2    1 + x           
  (1 + x)    (1 + x)                     
-----------------------------------------
                  1 + x                  

$$\frac{1}{x + 1} \left(\sin{\left (x \right )} + \frac{3 \cos{\left (x \right )}}{x + 1} - \frac{6 \sin{\left (x \right )}}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{6 \cos{\left (x \right )}}{\left(x + 1\right)^{3}}\right)$$