Производная cos(x)/tan(x)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение производной 😼

()'

– производная -го порядка в точке

График:

от до

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
cos(x)
------
tan(x)
cos(x)tan(x)\frac{\cos{\left(x \right)}}{\tan{\left(x \right)}}
d /cos(x)\
--|------|
dx\tan(x)/
ddxcos(x)tan(x)\frac{d}{d x} \frac{\cos{\left(x \right)}}{\tan{\left(x \right)}}
Подробное решение
  1. Применим правило производной частного:

    ddxf(x)g(x)=f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

    f(x)=cos(x)f{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)} и g(x)=tan(x)g{\left(x \right)} = \tan{\left(x \right)}.

    Чтобы найти ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

    1. Производная косинус есть минус синус:

      ddxcos(x)=sin(x)\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}

    Чтобы найти ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

    1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:

      tan(x)=sin(x)cos(x)\tan{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}

    2. Применим правило производной частного:

      ddxf(x)g(x)=f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

      f(x)=sin(x)f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} и g(x)=cos(x)g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}.

      Чтобы найти ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

      1. Производная синуса есть косинус:

        ddxsin(x)=cos(x)\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}

      Чтобы найти ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

      1. Производная косинус есть минус синус:

        ddxcos(x)=sin(x)\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}

      Теперь применим правило производной деления:

      sin2(x)+cos2(x)cos2(x)\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}

    Теперь применим правило производной деления:

    sin2(x)+cos2(x)cos(x)sin(x)tan(x)tan2(x)\frac{- \frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}} - \sin{\left(x \right)} \tan{\left(x \right)}}{\tan^{2}{\left(x \right)}}

  2. Теперь упростим:

    (1+1sin2(x))cos(x)- \left(1 + \frac{1}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\right) \cos{\left(x \right)}


Ответ:

(1+1sin2(x))cos(x)- \left(1 + \frac{1}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\right) \cos{\left(x \right)}

График
02468-8-6-4-2-1010-1000010000
Первая производная [src]
           /        2   \       
  sin(x)   \-1 - tan (x)/*cos(x)
- ------ + ---------------------
  tan(x)             2          
                  tan (x)       
(tan2(x)1)cos(x)tan2(x)sin(x)tan(x)\frac{\left(- \tan^{2}{\left(x \right)} - 1\right) \cos{\left(x \right)}}{\tan^{2}{\left(x \right)}} - \frac{\sin{\left(x \right)}}{\tan{\left(x \right)}}
Вторая производная [src]
            /       2   \                          /            2   \       
          2*\1 + tan (x)/*sin(x)     /       2   \ |     1 + tan (x)|       
-cos(x) + ---------------------- + 2*\1 + tan (x)/*|-1 + -----------|*cos(x)
                  tan(x)                           |          2     |       
                                                   \       tan (x)  /       
----------------------------------------------------------------------------
                                   tan(x)                                   
2(tan2(x)+1tan2(x)1)(tan2(x)+1)cos(x)+2(tan2(x)+1)sin(x)tan(x)cos(x)tan(x)\frac{2 \left(\frac{\tan^{2}{\left(x \right)} + 1}{\tan^{2}{\left(x \right)}} - 1\right) \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \cos{\left(x \right)} + \frac{2 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \sin{\left(x \right)}}{\tan{\left(x \right)}} - \cos{\left(x \right)}}{\tan{\left(x \right)}}
Третья производная [src]
                                                                                                                   /            2   \       
                                                                                                     /       2   \ |     1 + tan (x)|       
           /                               2                  3\                                   6*\1 + tan (x)/*|-1 + -----------|*sin(x)
           |                  /       2   \      /       2   \ |            /       2   \                          |          2     |       
sin(x)     |         2      5*\1 + tan (x)/    3*\1 + tan (x)/ |          3*\1 + tan (x)/*cos(x)                   \       tan (x)  /       
------ - 2*|2 + 2*tan (x) - ---------------- + ----------------|*cos(x) + ---------------------- - -----------------------------------------
tan(x)     |                       2                  4        |                    2                                tan(x)                 
           \                    tan (x)            tan (x)     /                 tan (x)                                                    
6(tan2(x)+1tan2(x)1)(tan2(x)+1)sin(x)tan(x)+3(tan2(x)+1)cos(x)tan2(x)2(3(tan2(x)+1)3tan4(x)5(tan2(x)+1)2tan2(x)+2tan2(x)+2)cos(x)+sin(x)tan(x)- \frac{6 \left(\frac{\tan^{2}{\left(x \right)} + 1}{\tan^{2}{\left(x \right)}} - 1\right) \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \sin{\left(x \right)}}{\tan{\left(x \right)}} + \frac{3 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \cos{\left(x \right)}}{\tan^{2}{\left(x \right)}} - 2 \cdot \left(\frac{3 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{3}}{\tan^{4}{\left(x \right)}} - \frac{5 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{2}}{\tan^{2}{\left(x \right)}} + 2 \tan^{2}{\left(x \right)} + 2\right) \cos{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(x \right)}}{\tan{\left(x \right)}}
График
Производная cos(x)/tan(x) /media/krcore-image-pods/hash/derivative/e/c3/16bcd352a3e89135691ee48c10287.png