Производная (cos(x/3))^2

Вы ввели

   2/x\
cos |-|
    \3/

$$\cos^{2}{\left (\frac{x}{3} \right )}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \cos{\left (\frac{x}{3} \right )}$.

2. В силу правила, применим: $u^{2}$ получим $2 u$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \cos{\left (\frac{x}{3} \right )}$:

   1. Заменим $u = \frac{x}{3}$.

   2. Производная косинус есть минус синус:

      $\frac{d}{d u} \cos{\left (u \right )} = - \sin{\left (u \right )}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(\frac{x}{3}\right)$:

      1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         Таким образом, в результате: $\frac{1}{3}$

      В результате последовательности правил:

      $- \frac{1}{3} \sin{\left (\frac{x}{3} \right )}$

   В результате последовательности правил:

   $- \frac{2}{3} \sin{\left (\frac{x}{3} \right )} \cos{\left (\frac{x}{3} \right )}$

4. Теперь упростим:

   $- \frac{1}{3} \sin{\left (\frac{2 x}{3} \right )}$

---

Ответ:

$- \frac{1}{3} \sin{\left (\frac{2 x}{3} \right )}$

Первая производная

      /x\    /x\
-2*cos|-|*sin|-|
      \3/    \3/
----------------
       3        

$$- \frac{2}{3} \sin{\left (\frac{x}{3} \right )} \cos{\left (\frac{x}{3} \right )}$$

Вторая производная

  /   2/x\      2/x\\
2*|sin |-| - cos |-||
  \    \3/       \3//
---------------------
          9          

$$\frac{1}{9} \left(2 \sin^{2}{\left (\frac{x}{3} \right )} - 2 \cos^{2}{\left (\frac{x}{3} \right )}\right)$$

Третья производная

     /x\    /x\
8*cos|-|*sin|-|
     \3/    \3/
---------------
       27      

$$\frac{8}{27} \sin{\left (\frac{x}{3} \right )} \cos{\left (\frac{x}{3} \right )}$$