Производная (cos(x))/x^2

Вы ввели

   1   
cos (x)
-------
    2  
   x   

$$\frac{1}{x^{2}} \cos^{1}{\left (x \right )}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )}$ и $g{\left (x \right )} = x^{2}$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. Производная косинус есть минус синус:

      $\frac{d}{d x} \cos{\left (x \right )} = - \sin{\left (x \right )}$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. В силу правила, применим: $x^{2}$ получим $2 x$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{1}{x^{4}} \left(- x^{2} \sin{\left (x \right )} - 2 x \cos{\left (x \right )}\right)$

2. Теперь упростим:

   $- \frac{1}{x^{3}} \left(x \sin{\left (x \right )} + 2 \cos{\left (x \right )}\right)$

---

Ответ:

$- \frac{1}{x^{3}} \left(x \sin{\left (x \right )} + 2 \cos{\left (x \right )}\right)$

Первая производная

  sin(x)   2*cos(x)
- ------ - --------
     2         3   
    x         x    

$$- \frac{1}{x^{2}} \sin{\left (x \right )} - \frac{2}{x^{3}} \cos{\left (x \right )}$$

Вторая производная

          4*sin(x)   6*cos(x)
-cos(x) + -------- + --------
             x           2   
                        x    
-----------------------------
               2             
              x              

$$\frac{1}{x^{2}} \left(- \cos{\left (x \right )} + \frac{4}{x} \sin{\left (x \right )} + \frac{6}{x^{2}} \cos{\left (x \right )}\right)$$

Третья производная

  24*cos(x)   18*sin(x)   6*cos(x)         
- --------- - --------- + -------- + sin(x)
       3           2         x             
      x           x                        
-------------------------------------------
                      2                    
                     x                     

$$\frac{1}{x^{2}} \left(\sin{\left (x \right )} + \frac{6}{x} \cos{\left (x \right )} - \frac{18}{x^{2}} \sin{\left (x \right )} - \frac{24}{x^{3}} \cos{\left (x \right )}\right)$$