Производная cos(x)*exp(-x)

Вы ввели

        -x
cos(x)*e  

$$e^{- x} \cos{\left (x \right )}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )}$ и $g{\left (x \right )} = e^{x}$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. Производная косинус есть минус синус:

      $\frac{d}{d x} \cos{\left (x \right )} = - \sin{\left (x \right )}$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. Производная $e^{x}$ само оно.

   Теперь применим правило производной деления:

   $\left(- e^{x} \sin{\left (x \right )} - e^{x} \cos{\left (x \right )}\right) e^{- 2 x}$

2. Теперь упростим:

   $- \sqrt{2} e^{- x} \sin{\left (x + \frac{\pi}{4} \right )}$

---

Ответ:

$- \sqrt{2} e^{- x} \sin{\left (x + \frac{\pi}{4} \right )}$

Первая производная

          -x    -x       
- cos(x)*e   - e  *sin(x)

$$- e^{- x} \sin{\left (x \right )} - e^{- x} \cos{\left (x \right )}$$

Вторая производная

   -x       
2*e  *sin(x)

$$2 e^{- x} \sin{\left (x \right )}$$

Третья производная

                      -x
2*(-sin(x) + cos(x))*e  

$$2 \left(- \sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}\right) e^{- x}$$