Производная cos(x)*exp(x)

Вы ввели

        x
cos(x)*e 

$$e^{x} \cos{\left (x \right )}$$

Подробное решение

1. Применяем правило производной умножения:

   $\frac{d}{d x}\left(f{\left (x \right )} g{\left (x \right )}\right) = f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$

   $f{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )}$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. Производная косинус есть минус синус:

      $\frac{d}{d x} \cos{\left (x \right )} = - \sin{\left (x \right )}$

   $g{\left (x \right )} = e^{x}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. Производная $e^{x}$ само оно.

   В результате: $- e^{x} \sin{\left (x \right )} + e^{x} \cos{\left (x \right )}$

2. Теперь упростим:

   $\sqrt{2} e^{x} \cos{\left (x + \frac{\pi}{4} \right )}$

---

Ответ:

$\sqrt{2} e^{x} \cos{\left (x + \frac{\pi}{4} \right )}$

Первая производная

        x    x       
cos(x)*e  - e *sin(x)

$$- e^{x} \sin{\left (x \right )} + e^{x} \cos{\left (x \right )}$$

Вторая производная

    x       
-2*e *sin(x)

$$- 2 e^{x} \sin{\left (x \right )}$$

Третья производная

                      x
-2*(cos(x) + sin(x))*e 

$$- 2 \left(\sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}\right) e^{x}$$