Производная cos(x)*5^-x

Вы ввели

        -x
cos(x)*5  

$$5^{- x} \cos{\left (x \right )}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )}$ и $g{\left (x \right )} = 5^{x}$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. Производная косинус есть минус синус:

      $\frac{d}{d x} \cos{\left (x \right )} = - \sin{\left (x \right )}$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. $\frac{d}{d x} 5^{x} = 5^{x} \log{\left (5 \right )}$

   Теперь применим правило производной деления:

   $5^{- 2 x} \left(- 5^{x} \sin{\left (x \right )} - 5^{x} \log{\left (5 \right )} \cos{\left (x \right )}\right)$

2. Теперь упростим:

   $- 5^{- x} \left(\sin{\left (x \right )} + \log{\left (5 \right )} \cos{\left (x \right )}\right)$

---

Ответ:

$- 5^{- x} \left(\sin{\left (x \right )} + \log{\left (5 \right )} \cos{\left (x \right )}\right)$

Первая производная

   -x           -x              
- 5  *sin(x) - 5  *cos(x)*log(5)

$$- 5^{- x} \sin{\left (x \right )} - 5^{- x} \log{\left (5 \right )} \cos{\left (x \right )}$$

Вторая производная

 -x /             2                            \
5  *\-cos(x) + log (5)*cos(x) + 2*log(5)*sin(x)/

$$5^{- x} \left(2 \log{\left (5 \right )} \sin{\left (x \right )} - \cos{\left (x \right )} + \log^{2}{\left (5 \right )} \cos{\left (x \right )}\right)$$

Третья производная

 -x /     3                  2                                     \
5  *\- log (5)*cos(x) - 3*log (5)*sin(x) + 3*cos(x)*log(5) + sin(x)/

$$5^{- x} \left(- 3 \log^{2}{\left (5 \right )} \sin{\left (x \right )} + \sin{\left (x \right )} - \log^{3}{\left (5 \right )} \cos{\left (x \right )} + 3 \log{\left (5 \right )} \cos{\left (x \right )}\right)$$