Производная cos(x^(1/8))

Вы ввели

   /8 ___\
cos\\/ x /

$$\cos{\left (\sqrt[8]{x} \right )}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \sqrt[8]{x}$.

2. Производная косинус есть минус синус:

   $\frac{d}{d u} \cos{\left (u \right )} = - \sin{\left (u \right )}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \sqrt[8]{x}$:

   1. В силу правила, применим: $\sqrt[8]{x}$ получим $\frac{1}{8 x^{\frac{7}{8}}}$

   В результате последовательности правил:

   $- \frac{\sin{\left (\sqrt[8]{x} \right )}}{8 x^{\frac{7}{8}}}$

---

Ответ:

$- \frac{\sin{\left (\sqrt[8]{x} \right )}}{8 x^{\frac{7}{8}}}$

Первая производная

    /8 ___\ 
-sin\\/ x / 
------------
      7/8   
   8*x      

$$- \frac{\sin{\left (\sqrt[8]{x} \right )}}{8 x^{\frac{7}{8}}}$$

Вторая производная

     /8 ___\        /8 ___\
  cos\\/ x /   7*sin\\/ x /
- ---------- + ------------
      7/4          15/8    
     x            x        
---------------------------
             64            

$$\frac{1}{64} \left(- \frac{1}{x^{\frac{7}{4}}} \cos{\left (\sqrt[8]{x} \right )} + \frac{7}{x^{\frac{15}{8}}} \sin{\left (\sqrt[8]{x} \right )}\right)$$

Третья производная

   /8 ___\          /8 ___\         /8 ___\
sin\\/ x /   105*sin\\/ x /   21*cos\\/ x /
---------- - -------------- + -------------
   21/8           23/8             11/4    
  x              x                x        
-------------------------------------------
                    512                    

$$\frac{1}{512} \left(\frac{21}{x^{\frac{11}{4}}} \cos{\left (\sqrt[8]{x} \right )} + \frac{1}{x^{\frac{21}{8}}} \sin{\left (\sqrt[8]{x} \right )} - \frac{105}{x^{\frac{23}{8}}} \sin{\left (\sqrt[8]{x} \right )}\right)$$