Производная (cos(x)^5)*x

Вы ввели

   5     
cos (x)*x

$$x \cos^{5}{\left (x \right )}$$

Подробное решение

1. Применяем правило производной умножения:

   $\frac{d}{d x}\left(f{\left (x \right )} g{\left (x \right )}\right) = f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$

   $f{\left (x \right )} = \cos^{5}{\left (x \right )}$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. Заменим $u = \cos{\left (x \right )}$.

   2. В силу правила, применим: $u^{5}$ получим $5 u^{4}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \cos{\left (x \right )}$:

      1. Производная косинус есть минус синус:

         $\frac{d}{d x} \cos{\left (x \right )} = - \sin{\left (x \right )}$

      В результате последовательности правил:

      $- 5 \sin{\left (x \right )} \cos^{4}{\left (x \right )}$

   $g{\left (x \right )} = x$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

   В результате: $- 5 x \sin{\left (x \right )} \cos^{4}{\left (x \right )} + \cos^{5}{\left (x \right )}$

2. Теперь упростим:

   $\left(- 5 x \sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}\right) \cos^{4}{\left (x \right )}$

---

Ответ:

$\left(- 5 x \sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}\right) \cos^{4}{\left (x \right )}$

Первая производная

   5             4          
cos (x) - 5*x*cos (x)*sin(x)

$$- 5 x \sin{\left (x \right )} \cos^{4}{\left (x \right )} + \cos^{5}{\left (x \right )}$$

Вторая производная

     3    /       2                               2   \
5*cos (x)*\- x*cos (x) - 2*cos(x)*sin(x) + 4*x*sin (x)/

$$5 \left(4 x \sin^{2}{\left (x \right )} - x \cos^{2}{\left (x \right )} - 2 \sin{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )}\right) \cos^{3}{\left (x \right )}$$

Третья производная

     2    /       3              3            2                     2          \
5*cos (x)*\- 3*cos (x) - 12*x*sin (x) + 12*sin (x)*cos(x) + 13*x*cos (x)*sin(x)/

$$5 \left(- 12 x \sin^{3}{\left (x \right )} + 13 x \sin{\left (x \right )} \cos^{2}{\left (x \right )} + 12 \sin^{2}{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )} - 3 \cos^{3}{\left (x \right )}\right) \cos^{2}{\left (x \right )}$$