Производная cot(4/x)

Вы ввели

   /4\
cot|-|
   \x/

$$\cot{\left(\frac{4}{x} \right)}$$

d /   /4\\
--|cot|-||
dx\   \x//

$$\frac{d}{d x} \cot{\left(\frac{4}{x} \right)}$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

   Method #1

   1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:

      $\cot{\left(\frac{4}{x} \right)} = \frac{1}{\tan{\left(\frac{4}{x} \right)}}$

   2. Заменим $u = \tan{\left(\frac{4}{x} \right)}$.

   3. В силу правила, применим: $\frac{1}{u}$ получим $- \frac{1}{u^{2}}$

   4. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \tan{\left(\frac{4}{x} \right)}$:

      1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:

         $\tan{\left(\frac{4}{x} \right)} = \frac{\sin{\left(\frac{4}{x} \right)}}{\cos{\left(\frac{4}{x} \right)}}$

      2. Применим правило производной частного:

         $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

         $f{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{4}{x} \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \cos{\left(\frac{4}{x} \right)}$.

         Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

         1. Заменим $u = \frac{4}{x}$.

         2. Производная синуса есть косинус:

            $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

         3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \frac{4}{x}$:

            1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

               1. В силу правила, применим: $\frac{1}{x}$ получим $- \frac{1}{x^{2}}$

               Таким образом, в результате: $- \frac{4}{x^{2}}$

            В результате последовательности правил:

            $- \frac{4 \cos{\left(\frac{4}{x} \right)}}{x^{2}}$

         Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

         1. Заменим $u = \frac{4}{x}$.

         2. Производная косинус есть минус синус:

            $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

         3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \frac{4}{x}$:

            1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

               1. В силу правила, применим: $\frac{1}{x}$ получим $- \frac{1}{x^{2}}$

               Таким образом, в результате: $- \frac{4}{x^{2}}$

            В результате последовательности правил:

            $\frac{4 \sin{\left(\frac{4}{x} \right)}}{x^{2}}$

         Теперь применим правило производной деления:

         $\frac{- \frac{4 \sin^{2}{\left(\frac{4}{x} \right)}}{x^{2}} - \frac{4 \cos^{2}{\left(\frac{4}{x} \right)}}{x^{2}}}{\cos^{2}{\left(\frac{4}{x} \right)}}$

      В результате последовательности правил:

      $- \frac{- \frac{4 \sin^{2}{\left(\frac{4}{x} \right)}}{x^{2}} - \frac{4 \cos^{2}{\left(\frac{4}{x} \right)}}{x^{2}}}{\cos^{2}{\left(\frac{4}{x} \right)} \tan^{2}{\left(\frac{4}{x} \right)}}$

   Method #2

   1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:

      $\cot{\left(\frac{4}{x} \right)} = \frac{\cos{\left(\frac{4}{x} \right)}}{\sin{\left(\frac{4}{x} \right)}}$

   2. Применим правило производной частного:

      $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

      $f{\left(x \right)} = \cos{\left(\frac{4}{x} \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{4}{x} \right)}$.

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Заменим $u = \frac{4}{x}$.

      2. Производная косинус есть минус синус:

         $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \frac{4}{x}$:

         1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: $\frac{1}{x}$ получим $- \frac{1}{x^{2}}$

            Таким образом, в результате: $- \frac{4}{x^{2}}$

         В результате последовательности правил:

         $\frac{4 \sin{\left(\frac{4}{x} \right)}}{x^{2}}$

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. Заменим $u = \frac{4}{x}$.

      2. Производная синуса есть косинус:

         $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \frac{4}{x}$:

         1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: $\frac{1}{x}$ получим $- \frac{1}{x^{2}}$

            Таким образом, в результате: $- \frac{4}{x^{2}}$

         В результате последовательности правил:

         $- \frac{4 \cos{\left(\frac{4}{x} \right)}}{x^{2}}$

      Теперь применим правило производной деления:

      $\frac{\frac{4 \sin^{2}{\left(\frac{4}{x} \right)}}{x^{2}} + \frac{4 \cos^{2}{\left(\frac{4}{x} \right)}}{x^{2}}}{\sin^{2}{\left(\frac{4}{x} \right)}}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{4}{x^{2} \sin^{2}{\left(\frac{4}{x} \right)}}$

---

Ответ:

$\frac{4}{x^{2} \sin^{2}{\left(\frac{4}{x} \right)}}$

Первая производная

   /        2/4\\
-4*|-1 - cot |-||
   \         \x//
-----------------
         2       
        x        

$$- \frac{4 \left(- \cot^{2}{\left(\frac{4}{x} \right)} - 1\right)}{x^{2}}$$

Вторая производная

                /          /4\\
                |     4*cot|-||
  /       2/4\\ |          \x/|
8*|1 + cot |-||*|-1 + --------|
  \        \x// \        x    /
-------------------------------
                3              
               x               

$$\frac{8 \left(-1 + \frac{4 \cot{\left(\frac{4}{x} \right)}}{x}\right) \left(\cot^{2}{\left(\frac{4}{x} \right)} + 1\right)}{x^{3}}$$

Третья производная

                /          /4\      /       2/4\\         2/4\\
                |    24*cot|-|   16*|1 + cot |-||   32*cot |-||
  /       2/4\\ |          \x/      \        \x//          \x/|
8*|1 + cot |-||*|3 - --------- + ---------------- + ----------|
  \        \x// |        x               2               2    |
                \                       x               x     /
---------------------------------------------------------------
                                4                              
                               x                               

$$\frac{8 \left(\cot^{2}{\left(\frac{4}{x} \right)} + 1\right) \left(3 - \frac{24 \cot{\left(\frac{4}{x} \right)}}{x} + \frac{16 \left(\cot^{2}{\left(\frac{4}{x} \right)} + 1\right)}{x^{2}} + \frac{32 \cot^{2}{\left(\frac{4}{x} \right)}}{x^{2}}\right)}{x^{4}}$$

График