Производная cot(pi*x)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение производной 😼

()'

– производная -го порядка в точке

График:

от до

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
cot(pi*x)
cot(πx)\cot{\left(\pi x \right)}
d            
--(cot(pi*x))
dx           
ddxcot(πx)\frac{d}{d x} \cot{\left(\pi x \right)}
Подробное решение
  1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

    Method #1

    1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:

      cot(πx)=1tan(πx)\cot{\left(\pi x \right)} = \frac{1}{\tan{\left(\pi x \right)}}

    2. Заменим u=tan(πx)u = \tan{\left(\pi x \right)}.

    3. В силу правила, применим: 1u\frac{1}{u} получим 1u2- \frac{1}{u^{2}}

    4. Затем примените цепочку правил. Умножим на ddxtan(πx)\frac{d}{d x} \tan{\left(\pi x \right)}:

      1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:

        tan(πx)=sin(πx)cos(πx)\tan{\left(\pi x \right)} = \frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\cos{\left(\pi x \right)}}

      2. Применим правило производной частного:

        ddxf(x)g(x)=f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

        f(x)=sin(πx)f{\left(x \right)} = \sin{\left(\pi x \right)} и g(x)=cos(πx)g{\left(x \right)} = \cos{\left(\pi x \right)}.

        Чтобы найти ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

        1. Заменим u=πxu = \pi x.

        2. Производная синуса есть косинус:

          ddusin(u)=cos(u)\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}

        3. Затем примените цепочку правил. Умножим на ddxπx\frac{d}{d x} \pi x:

          1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: xx получим 11

            Таким образом, в результате: π\pi

          В результате последовательности правил:

          πcos(πx)\pi \cos{\left(\pi x \right)}

        Чтобы найти ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

        1. Заменим u=πxu = \pi x.

        2. Производная косинус есть минус синус:

          dducos(u)=sin(u)\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}

        3. Затем примените цепочку правил. Умножим на ddxπx\frac{d}{d x} \pi x:

          1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: xx получим 11

            Таким образом, в результате: π\pi

          В результате последовательности правил:

          πsin(πx)- \pi \sin{\left(\pi x \right)}

        Теперь применим правило производной деления:

        πsin2(πx)+πcos2(πx)cos2(πx)\frac{\pi \sin^{2}{\left(\pi x \right)} + \pi \cos^{2}{\left(\pi x \right)}}{\cos^{2}{\left(\pi x \right)}}

      В результате последовательности правил:

      πsin2(πx)+πcos2(πx)cos2(πx)tan2(πx)- \frac{\pi \sin^{2}{\left(\pi x \right)} + \pi \cos^{2}{\left(\pi x \right)}}{\cos^{2}{\left(\pi x \right)} \tan^{2}{\left(\pi x \right)}}

    Method #2

    1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:

      cot(πx)=cos(πx)sin(πx)\cot{\left(\pi x \right)} = \frac{\cos{\left(\pi x \right)}}{\sin{\left(\pi x \right)}}

    2. Применим правило производной частного:

      ddxf(x)g(x)=f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

      f(x)=cos(πx)f{\left(x \right)} = \cos{\left(\pi x \right)} и g(x)=sin(πx)g{\left(x \right)} = \sin{\left(\pi x \right)}.

      Чтобы найти ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

      1. Заменим u=πxu = \pi x.

      2. Производная косинус есть минус синус:

        dducos(u)=sin(u)\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на ddxπx\frac{d}{d x} \pi x:

        1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

          1. В силу правила, применим: xx получим 11

          Таким образом, в результате: π\pi

        В результате последовательности правил:

        πsin(πx)- \pi \sin{\left(\pi x \right)}

      Чтобы найти ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

      1. Заменим u=πxu = \pi x.

      2. Производная синуса есть косинус:

        ddusin(u)=cos(u)\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на ddxπx\frac{d}{d x} \pi x:

        1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

          1. В силу правила, применим: xx получим 11

          Таким образом, в результате: π\pi

        В результате последовательности правил:

        πcos(πx)\pi \cos{\left(\pi x \right)}

      Теперь применим правило производной деления:

      πsin2(πx)πcos2(πx)sin2(πx)\frac{- \pi \sin^{2}{\left(\pi x \right)} - \pi \cos^{2}{\left(\pi x \right)}}{\sin^{2}{\left(\pi x \right)}}

  2. Теперь упростим:

    πsin2(πx)- \frac{\pi}{\sin^{2}{\left(\pi x \right)}}


Ответ:

πsin2(πx)- \frac{\pi}{\sin^{2}{\left(\pi x \right)}}

График
02468-8-6-4-2-1010-3e303e30
Первая производная [src]
   /        2      \
pi*\-1 - cot (pi*x)/
π(cot2(πx)1)\pi \left(- \cot^{2}{\left(\pi x \right)} - 1\right)
Вторая производная [src]
    2 /       2      \          
2*pi *\1 + cot (pi*x)/*cot(pi*x)
2π2(cot2(πx)+1)cot(πx)2 \pi^{2} \left(\cot^{2}{\left(\pi x \right)} + 1\right) \cot{\left(\pi x \right)}
Третья производная [src]
     3 /       2      \ /         2      \
-2*pi *\1 + cot (pi*x)/*\1 + 3*cot (pi*x)/
2π3(cot2(πx)+1)(3cot2(πx)+1)- 2 \pi^{3} \left(\cot^{2}{\left(\pi x \right)} + 1\right) \left(3 \cot^{2}{\left(\pi x \right)} + 1\right)
График
Производная cot(pi*x) /media/krcore-image-pods/hash/derivative/9/54/076836fa8a02a57c426b2efc414bd.png