Производная cot(2-5*x)

Вы ввели

cot(2 - 5*x)

$$\cot{\left(2 - 5 x \right)}$$

d               
--(cot(2 - 5*x))
dx              

$$\frac{d}{d x} \cot{\left(2 - 5 x \right)}$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

   Method #1

   1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:

      $\cot{\left(2 - 5 x \right)} = - \frac{1}{\tan{\left(5 x - 2 \right)}}$

   2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

      1. Заменим $u = \tan{\left(5 x - 2 \right)}$.

      2. В силу правила, применим: $\frac{1}{u}$ получим $- \frac{1}{u^{2}}$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \tan{\left(5 x - 2 \right)}$:

         1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:

            $\tan{\left(5 x - 2 \right)} = \frac{\sin{\left(5 x - 2 \right)}}{\cos{\left(5 x - 2 \right)}}$

         2. Применим правило производной частного:

            $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

            $f{\left(x \right)} = \sin{\left(5 x - 2 \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \cos{\left(5 x - 2 \right)}$.

            Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

            1. Заменим $u = 5 x - 2$.

            2. Производная синуса есть косинус:

               $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

            3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \left(5 x - 2\right)$:

               1. дифференцируем $5 x - 2$ почленно:

                  1. Производная постоянной $-2$ равна нулю.

                  2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

                     1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

                     Таким образом, в результате: $5$

                  В результате: $5$

               В результате последовательности правил:

               $5 \cos{\left(5 x - 2 \right)}$

            Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

            1. Заменим $u = 5 x - 2$.

            2. Производная косинус есть минус синус:

               $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

            3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \left(5 x - 2\right)$:

               1. дифференцируем $5 x - 2$ почленно:

                  1. Производная постоянной $-2$ равна нулю.

                  2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

                     1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

                     Таким образом, в результате: $5$

                  В результате: $5$

               В результате последовательности правил:

               $- 5 \sin{\left(5 x - 2 \right)}$

            Теперь применим правило производной деления:

            $\frac{5 \sin^{2}{\left(5 x - 2 \right)} + 5 \cos^{2}{\left(5 x - 2 \right)}}{\cos^{2}{\left(5 x - 2 \right)}}$

         В результате последовательности правил:

         $- \frac{5 \sin^{2}{\left(5 x - 2 \right)} + 5 \cos^{2}{\left(5 x - 2 \right)}}{\cos^{2}{\left(5 x - 2 \right)} \tan^{2}{\left(5 x - 2 \right)}}$

      Таким образом, в результате: $\frac{5 \sin^{2}{\left(5 x - 2 \right)} + 5 \cos^{2}{\left(5 x - 2 \right)}}{\cos^{2}{\left(5 x - 2 \right)} \tan^{2}{\left(5 x - 2 \right)}}$

   Method #2

   1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:

      $\cot{\left(2 - 5 x \right)} = - \frac{\cos{\left(5 x - 2 \right)}}{\sin{\left(5 x - 2 \right)}}$

   2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

      1. Применим правило производной частного:

         $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

         $f{\left(x \right)} = \cos{\left(5 x - 2 \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \sin{\left(5 x - 2 \right)}$.

         Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

         1. Заменим $u = 5 x - 2$.

         2. Производная косинус есть минус синус:

            $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

         3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \left(5 x - 2\right)$:

            1. дифференцируем $5 x - 2$ почленно:

               1. Производная постоянной $-2$ равна нулю.

               2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

                  1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

                  Таким образом, в результате: $5$

               В результате: $5$

            В результате последовательности правил:

            $- 5 \sin{\left(5 x - 2 \right)}$

         Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

         1. Заменим $u = 5 x - 2$.

         2. Производная синуса есть косинус:

            $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

         3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \left(5 x - 2\right)$:

            1. дифференцируем $5 x - 2$ почленно:

               1. Производная постоянной $-2$ равна нулю.

               2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

                  1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

                  Таким образом, в результате: $5$

               В результате: $5$

            В результате последовательности правил:

            $5 \cos{\left(5 x - 2 \right)}$

         Теперь применим правило производной деления:

         $\frac{- 5 \sin^{2}{\left(5 x - 2 \right)} - 5 \cos^{2}{\left(5 x - 2 \right)}}{\sin^{2}{\left(5 x - 2 \right)}}$

      Таким образом, в результате: $- \frac{- 5 \sin^{2}{\left(5 x - 2 \right)} - 5 \cos^{2}{\left(5 x - 2 \right)}}{\sin^{2}{\left(5 x - 2 \right)}}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{5}{\sin^{2}{\left(5 x - 2 \right)}}$

---

Ответ:

$\frac{5}{\sin^{2}{\left(5 x - 2 \right)}}$

Первая производная

         2         
5 + 5*cot (2 - 5*x)

$$5 \cot^{2}{\left(2 - 5 x \right)} + 5$$

Вторая производная

    /       2          \              
-50*\1 + cot (-2 + 5*x)/*cot(-2 + 5*x)

$$- 50 \left(\cot^{2}{\left(5 x - 2 \right)} + 1\right) \cot{\left(5 x - 2 \right)}$$

Третья производная

    /       2          \ /         2          \
250*\1 + cot (-2 + 5*x)/*\1 + 3*cot (-2 + 5*x)/

$$250 \left(\cot^{2}{\left(5 x - 2 \right)} + 1\right) \left(3 \cot^{2}{\left(5 x - 2 \right)} + 1\right)$$

График