Производная cot(2*x)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение производной 😼

()'

– производная -го порядка в точке

График:

от до

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
cot(2*x)
cot(2x)\cot{\left(2 x \right)}
d           
--(cot(2*x))
dx          
ddxcot(2x)\frac{d}{d x} \cot{\left(2 x \right)}
Подробное решение
  1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

    Method #1

    1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:

      cot(2x)=1tan(2x)\cot{\left(2 x \right)} = \frac{1}{\tan{\left(2 x \right)}}

    2. Заменим u=tan(2x)u = \tan{\left(2 x \right)}.

    3. В силу правила, применим: 1u\frac{1}{u} получим 1u2- \frac{1}{u^{2}}

    4. Затем примените цепочку правил. Умножим на ddxtan(2x)\frac{d}{d x} \tan{\left(2 x \right)}:

      1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:

        tan(2x)=sin(2x)cos(2x)\tan{\left(2 x \right)} = \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{\cos{\left(2 x \right)}}

      2. Применим правило производной частного:

        ddxf(x)g(x)=f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

        f(x)=sin(2x)f{\left(x \right)} = \sin{\left(2 x \right)} и g(x)=cos(2x)g{\left(x \right)} = \cos{\left(2 x \right)}.

        Чтобы найти ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

        1. Заменим u=2xu = 2 x.

        2. Производная синуса есть косинус:

          ddusin(u)=cos(u)\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}

        3. Затем примените цепочку правил. Умножим на ddx2x\frac{d}{d x} 2 x:

          1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: xx получим 11

            Таким образом, в результате: 22

          В результате последовательности правил:

          2cos(2x)2 \cos{\left(2 x \right)}

        Чтобы найти ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

        1. Заменим u=2xu = 2 x.

        2. Производная косинус есть минус синус:

          dducos(u)=sin(u)\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}

        3. Затем примените цепочку правил. Умножим на ddx2x\frac{d}{d x} 2 x:

          1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: xx получим 11

            Таким образом, в результате: 22

          В результате последовательности правил:

          2sin(2x)- 2 \sin{\left(2 x \right)}

        Теперь применим правило производной деления:

        2sin2(2x)+2cos2(2x)cos2(2x)\frac{2 \sin^{2}{\left(2 x \right)} + 2 \cos^{2}{\left(2 x \right)}}{\cos^{2}{\left(2 x \right)}}

      В результате последовательности правил:

      2sin2(2x)+2cos2(2x)cos2(2x)tan2(2x)- \frac{2 \sin^{2}{\left(2 x \right)} + 2 \cos^{2}{\left(2 x \right)}}{\cos^{2}{\left(2 x \right)} \tan^{2}{\left(2 x \right)}}

    Method #2

    1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:

      cot(2x)=cos(2x)sin(2x)\cot{\left(2 x \right)} = \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{\sin{\left(2 x \right)}}

    2. Применим правило производной частного:

      ddxf(x)g(x)=f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

      f(x)=cos(2x)f{\left(x \right)} = \cos{\left(2 x \right)} и g(x)=sin(2x)g{\left(x \right)} = \sin{\left(2 x \right)}.

      Чтобы найти ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

      1. Заменим u=2xu = 2 x.

      2. Производная косинус есть минус синус:

        dducos(u)=sin(u)\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на ddx2x\frac{d}{d x} 2 x:

        1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

          1. В силу правила, применим: xx получим 11

          Таким образом, в результате: 22

        В результате последовательности правил:

        2sin(2x)- 2 \sin{\left(2 x \right)}

      Чтобы найти ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

      1. Заменим u=2xu = 2 x.

      2. Производная синуса есть косинус:

        ddusin(u)=cos(u)\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на ddx2x\frac{d}{d x} 2 x:

        1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

          1. В силу правила, применим: xx получим 11

          Таким образом, в результате: 22

        В результате последовательности правил:

        2cos(2x)2 \cos{\left(2 x \right)}

      Теперь применим правило производной деления:

      2sin2(2x)2cos2(2x)sin2(2x)\frac{- 2 \sin^{2}{\left(2 x \right)} - 2 \cos^{2}{\left(2 x \right)}}{\sin^{2}{\left(2 x \right)}}

  2. Теперь упростим:

    4cos(4x)1\frac{4}{\cos{\left(4 x \right)} - 1}


Ответ:

4cos(4x)1\frac{4}{\cos{\left(4 x \right)} - 1}

График
02468-8-6-4-2-1010-50005000
Первая производная [src]
          2     
-2 - 2*cot (2*x)
2cot2(2x)2- 2 \cot^{2}{\left(2 x \right)} - 2
Вторая производная [src]
  /       2     \         
8*\1 + cot (2*x)/*cot(2*x)
8(cot2(2x)+1)cot(2x)8 \left(\cot^{2}{\left(2 x \right)} + 1\right) \cot{\left(2 x \right)}
Третья производная [src]
    /       2     \ /         2     \
-16*\1 + cot (2*x)/*\1 + 3*cot (2*x)/
16(cot2(2x)+1)(3cot2(2x)+1)- 16 \left(\cot^{2}{\left(2 x \right)} + 1\right) \left(3 \cot^{2}{\left(2 x \right)} + 1\right)
График
Производная cot(2*x) /media/krcore-image-pods/hash/derivative/4/01/8c9cda7d2138c66d1bcafcb916924.png