Производная cot(2*x)^(4)

Вы ввели

   4     
cot (2*x)

$$\cot^{4}{\left (2 x \right )}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \cot{\left (2 x \right )}$.

2. В силу правила, применим: $u^{4}$ получим $4 u^{3}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \cot{\left (2 x \right )}$:

   1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

      Один из способов:

      1. Заменим $u = 2 x$.

      2. $\frac{d}{d u} \cot{\left (u \right )} = - \frac{1}{\sin^{2}{\left (u \right )}}$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(2 x\right)$:

         1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            Таким образом, в результате: $2$

         В результате последовательности правил:

         $- \frac{2}{\sin^{2}{\left (2 x \right )}}$

   В результате последовательности правил:

   $- \frac{4 \left(2 \sin^{2}{\left (2 x \right )} + 2 \cos^{2}{\left (2 x \right )}\right) \cot^{3}{\left (2 x \right )}}{\cos^{2}{\left (2 x \right )} \tan^{2}{\left (2 x \right )}}$

4. Теперь упростим:

   $- \frac{8 \cos^{3}{\left (2 x \right )}}{\sin^{5}{\left (2 x \right )}}$

---

Ответ:

$- \frac{8 \cos^{3}{\left (2 x \right )}}{\sin^{5}{\left (2 x \right )}}$

Первая производная

   3      /          2     \
cot (2*x)*\-8 - 8*cot (2*x)/

$$\left(- 8 \cot^{2}{\left (2 x \right )} - 8\right) \cot^{3}{\left (2 x \right )}$$

Вторая производная

      2      /       2     \ /         2     \
16*cot (2*x)*\1 + cot (2*x)/*\3 + 5*cot (2*x)/

$$16 \left(\cot^{2}{\left (2 x \right )} + 1\right) \left(5 \cot^{2}{\left (2 x \right )} + 3\right) \cot^{2}{\left (2 x \right )}$$

Третья производная

                    /                               2                               \         
    /       2     \ |     4          /       2     \          2      /       2     \|         
-64*\1 + cot (2*x)/*\2*cot (2*x) + 3*\1 + cot (2*x)/  + 10*cot (2*x)*\1 + cot (2*x)//*cot(2*x)

$$- 64 \left(\cot^{2}{\left (2 x \right )} + 1\right) \left(3 \left(\cot^{2}{\left (2 x \right )} + 1\right)^{2} + 10 \left(\cot^{2}{\left (2 x \right )} + 1\right) \cot^{2}{\left (2 x \right )} + 2 \cot^{4}{\left (2 x \right )}\right) \cot{\left (2 x \right )}$$