Производная cot(5*x+5)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение производной 😼

()'

– производная -го порядка в точке

График:

от до

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
cot(5*x + 5)
cot(5x+5)\cot{\left(5 x + 5 \right)}
d               
--(cot(5*x + 5))
dx              
ddxcot(5x+5)\frac{d}{d x} \cot{\left(5 x + 5 \right)}
Подробное решение
  1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

    Method #1

    1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:

      cot(5x+5)=1tan(5x+5)\cot{\left(5 x + 5 \right)} = \frac{1}{\tan{\left(5 x + 5 \right)}}

    2. Заменим u=tan(5x+5)u = \tan{\left(5 x + 5 \right)}.

    3. В силу правила, применим: 1u\frac{1}{u} получим 1u2- \frac{1}{u^{2}}

    4. Затем примените цепочку правил. Умножим на ddxtan(5x+5)\frac{d}{d x} \tan{\left(5 x + 5 \right)}:

      1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:

        tan(5x+5)=sin(5x+5)cos(5x+5)\tan{\left(5 x + 5 \right)} = \frac{\sin{\left(5 x + 5 \right)}}{\cos{\left(5 x + 5 \right)}}

      2. Применим правило производной частного:

        ddxf(x)g(x)=f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

        f(x)=sin(5x+5)f{\left(x \right)} = \sin{\left(5 x + 5 \right)} и g(x)=cos(5x+5)g{\left(x \right)} = \cos{\left(5 x + 5 \right)}.

        Чтобы найти ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

        1. Заменим u=5x+5u = 5 x + 5.

        2. Производная синуса есть косинус:

          ddusin(u)=cos(u)\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}

        3. Затем примените цепочку правил. Умножим на ddx(5x+5)\frac{d}{d x} \left(5 x + 5\right):

          1. дифференцируем 5x+55 x + 5 почленно:

            1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

              1. В силу правила, применим: xx получим 11

              Таким образом, в результате: 55

            2. Производная постоянной 55 равна нулю.

            В результате: 55

          В результате последовательности правил:

          5cos(5x+5)5 \cos{\left(5 x + 5 \right)}

        Чтобы найти ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

        1. Заменим u=5x+5u = 5 x + 5.

        2. Производная косинус есть минус синус:

          dducos(u)=sin(u)\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}

        3. Затем примените цепочку правил. Умножим на ddx(5x+5)\frac{d}{d x} \left(5 x + 5\right):

          1. дифференцируем 5x+55 x + 5 почленно:

            1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

              1. В силу правила, применим: xx получим 11

              Таким образом, в результате: 55

            2. Производная постоянной 55 равна нулю.

            В результате: 55

          В результате последовательности правил:

          5sin(5x+5)- 5 \sin{\left(5 x + 5 \right)}

        Теперь применим правило производной деления:

        5sin2(5x+5)+5cos2(5x+5)cos2(5x+5)\frac{5 \sin^{2}{\left(5 x + 5 \right)} + 5 \cos^{2}{\left(5 x + 5 \right)}}{\cos^{2}{\left(5 x + 5 \right)}}

      В результате последовательности правил:

      5sin2(5x+5)+5cos2(5x+5)cos2(5x+5)tan2(5x+5)- \frac{5 \sin^{2}{\left(5 x + 5 \right)} + 5 \cos^{2}{\left(5 x + 5 \right)}}{\cos^{2}{\left(5 x + 5 \right)} \tan^{2}{\left(5 x + 5 \right)}}

    Method #2

    1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:

      cot(5x+5)=cos(5x+5)sin(5x+5)\cot{\left(5 x + 5 \right)} = \frac{\cos{\left(5 x + 5 \right)}}{\sin{\left(5 x + 5 \right)}}

    2. Применим правило производной частного:

      ddxf(x)g(x)=f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

      f(x)=cos(5x+5)f{\left(x \right)} = \cos{\left(5 x + 5 \right)} и g(x)=sin(5x+5)g{\left(x \right)} = \sin{\left(5 x + 5 \right)}.

      Чтобы найти ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

      1. Заменим u=5x+5u = 5 x + 5.

      2. Производная косинус есть минус синус:

        dducos(u)=sin(u)\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на ddx(5x+5)\frac{d}{d x} \left(5 x + 5\right):

        1. дифференцируем 5x+55 x + 5 почленно:

          1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: xx получим 11

            Таким образом, в результате: 55

          2. Производная постоянной 55 равна нулю.

          В результате: 55

        В результате последовательности правил:

        5sin(5x+5)- 5 \sin{\left(5 x + 5 \right)}

      Чтобы найти ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

      1. Заменим u=5x+5u = 5 x + 5.

      2. Производная синуса есть косинус:

        ddusin(u)=cos(u)\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на ddx(5x+5)\frac{d}{d x} \left(5 x + 5\right):

        1. дифференцируем 5x+55 x + 5 почленно:

          1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: xx получим 11

            Таким образом, в результате: 55

          2. Производная постоянной 55 равна нулю.

          В результате: 55

        В результате последовательности правил:

        5cos(5x+5)5 \cos{\left(5 x + 5 \right)}

      Теперь применим правило производной деления:

      5sin2(5x+5)5cos2(5x+5)sin2(5x+5)\frac{- 5 \sin^{2}{\left(5 x + 5 \right)} - 5 \cos^{2}{\left(5 x + 5 \right)}}{\sin^{2}{\left(5 x + 5 \right)}}

  2. Теперь упростим:

    5sin2(5x+5)- \frac{5}{\sin^{2}{\left(5 x + 5 \right)}}


Ответ:

5sin2(5x+5)- \frac{5}{\sin^{2}{\left(5 x + 5 \right)}}

График
02468-8-6-4-2-1010-100000005000000
Первая производная [src]
          2         
-5 - 5*cot (5*x + 5)
5cot2(5x+5)5- 5 \cot^{2}{\left(5 x + 5 \right)} - 5
Вторая производная [src]
   /       2           \               
50*\1 + cot (5*(1 + x))/*cot(5*(1 + x))
50(cot2(5(x+1))+1)cot(5(x+1))50 \left(\cot^{2}{\left(5 \left(x + 1\right) \right)} + 1\right) \cot{\left(5 \left(x + 1\right) \right)}
Третья производная [src]
     /       2           \ /         2           \
-250*\1 + cot (5*(1 + x))/*\1 + 3*cot (5*(1 + x))/
250(cot2(5(x+1))+1)(3cot2(5(x+1))+1)- 250 \left(\cot^{2}{\left(5 \left(x + 1\right) \right)} + 1\right) \left(3 \cot^{2}{\left(5 \left(x + 1\right) \right)} + 1\right)
График
Производная cot(5*x+5) /media/krcore-image-pods/f/ac/18accc62fe93c0edb44b92dc87fa2.png