Производная cot(x/2)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение производной 😼

()'

– производная -го порядка в точке

График:

от до

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
   /x\
cot|-|
   \2/
cot(x2)\cot{\left(\frac{x}{2} \right)}
d /   /x\\
--|cot|-||
dx\   \2//
ddxcot(x2)\frac{d}{d x} \cot{\left(\frac{x}{2} \right)}
Подробное решение
  1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

    Method #1

    1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:

      cot(x2)=1tan(x2)\cot{\left(\frac{x}{2} \right)} = \frac{1}{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}

    2. Заменим u=tan(x2)u = \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}.

    3. В силу правила, применим: 1u\frac{1}{u} получим 1u2- \frac{1}{u^{2}}

    4. Затем примените цепочку правил. Умножим на ddxtan(x2)\frac{d}{d x} \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}:

      1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:

        tan(x2)=sin(x2)cos(x2)\tan{\left(\frac{x}{2} \right)} = \frac{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}

      2. Применим правило производной частного:

        ddxf(x)g(x)=f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

        f(x)=sin(x2)f{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} и g(x)=cos(x2)g{\left(x \right)} = \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}.

        Чтобы найти ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

        1. Заменим u=x2u = \frac{x}{2}.

        2. Производная синуса есть косинус:

          ddusin(u)=cos(u)\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}

        3. Затем примените цепочку правил. Умножим на ddxx2\frac{d}{d x} \frac{x}{2}:

          1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: xx получим 11

            Таким образом, в результате: 12\frac{1}{2}

          В результате последовательности правил:

          cos(x2)2\frac{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}

        Чтобы найти ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

        1. Заменим u=x2u = \frac{x}{2}.

        2. Производная косинус есть минус синус:

          dducos(u)=sin(u)\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}

        3. Затем примените цепочку правил. Умножим на ddxx2\frac{d}{d x} \frac{x}{2}:

          1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: xx получим 11

            Таким образом, в результате: 12\frac{1}{2}

          В результате последовательности правил:

          sin(x2)2- \frac{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}

        Теперь применим правило производной деления:

        sin2(x2)2+cos2(x2)2cos2(x2)\frac{\frac{\sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} + \frac{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}}{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}

      В результате последовательности правил:

      sin2(x2)2+cos2(x2)2cos2(x2)tan2(x2)- \frac{\frac{\sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} + \frac{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}}{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} \tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}

    Method #2

    1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:

      cot(x2)=cos(x2)sin(x2)\cot{\left(\frac{x}{2} \right)} = \frac{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}

    2. Применим правило производной частного:

      ddxf(x)g(x)=f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

      f(x)=cos(x2)f{\left(x \right)} = \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} и g(x)=sin(x2)g{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}.

      Чтобы найти ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

      1. Заменим u=x2u = \frac{x}{2}.

      2. Производная косинус есть минус синус:

        dducos(u)=sin(u)\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на ddxx2\frac{d}{d x} \frac{x}{2}:

        1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

          1. В силу правила, применим: xx получим 11

          Таким образом, в результате: 12\frac{1}{2}

        В результате последовательности правил:

        sin(x2)2- \frac{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}

      Чтобы найти ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

      1. Заменим u=x2u = \frac{x}{2}.

      2. Производная синуса есть косинус:

        ddusin(u)=cos(u)\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на ddxx2\frac{d}{d x} \frac{x}{2}:

        1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

          1. В силу правила, применим: xx получим 11

          Таким образом, в результате: 12\frac{1}{2}

        В результате последовательности правил:

        cos(x2)2\frac{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}

      Теперь применим правило производной деления:

      sin2(x2)2cos2(x2)2sin2(x2)\frac{- \frac{\sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} - \frac{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}}{\sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}

  2. Теперь упростим:

    1(cos(x)+1)tan2(x2)- \frac{1}{\left(\cos{\left(x \right)} + 1\right) \tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}


Ответ:

1(cos(x)+1)tan2(x2)- \frac{1}{\left(\cos{\left(x \right)} + 1\right) \tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}

График
02468-8-6-4-2-1010-500500
Первая производная [src]
         2/x\
      cot |-|
  1       \2/
- - - -------
  2      2   
cot2(x2)212- \frac{\cot^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} - \frac{1}{2}
Вторая производная [src]
/       2/x\\    /x\
|1 + cot |-||*cot|-|
\        \2//    \2/
--------------------
         2          
(cot2(x2)+1)cot(x2)2\frac{\left(\cot^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1\right) \cot{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}
Третья производная [src]
 /       2/x\\ /         2/x\\ 
-|1 + cot |-||*|1 + 3*cot |-|| 
 \        \2// \          \2// 
-------------------------------
               4               
(cot2(x2)+1)(3cot2(x2)+1)4- \frac{\left(\cot^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1\right) \left(3 \cot^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1\right)}{4}
График
Производная cot(x/2) /media/krcore-image-pods/hash/derivative/a/f5/7bc516ccc264634efaa33a8b93538.png