Производная cot(x)/log(x)

Вы ввели

cot(x)
------
log(x)

$$\frac{\cot{\left (x \right )}}{\log{\left (x \right )}}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = \cot{\left (x \right )}$ и $g{\left (x \right )} = \log{\left (x \right )}$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

      Один из способов:

      1. $\frac{d}{d x} \cot{\left (x \right )} = - \frac{1}{\sin^{2}{\left (x \right )}}$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. Производная $\log{\left (x \right )}$ является $\frac{1}{x}$.

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{1}{\log^{2}{\left (x \right )}} \left(- \frac{\left(\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}\right) \log{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )} \tan^{2}{\left (x \right )}} - \frac{1}{x} \cot{\left (x \right )}\right)$

2. Теперь упростим:

   $\frac{2 x \log{\left (x \right )} + \sin{\left (2 x \right )}}{x \left(\cos{\left (2 x \right )} - 1\right) \log^{2}{\left (x \right )}}$

---

Ответ:

$\frac{2 x \log{\left (x \right )} + \sin{\left (2 x \right )}}{x \left(\cos{\left (2 x \right )} - 1\right) \log^{2}{\left (x \right )}}$

Первая производная

        2               
-1 - cot (x)     cot(x) 
------------ - ---------
   log(x)           2   
               x*log (x)

$$\frac{- \cot^{2}{\left (x \right )} - 1}{\log{\left (x \right )}} - \frac{\cot{\left (x \right )}}{x \log^{2}{\left (x \right )}}$$

Вторая производная

                                       /       2   \             
  /       2   \            cot(x)    2*\1 + cot (x)/    2*cot(x) 
2*\1 + cot (x)/*cot(x) + --------- + --------------- + ----------
                          2              x*log(x)       2    2   
                         x *log(x)                     x *log (x)
-----------------------------------------------------------------
                              log(x)                             

$$\frac{1}{\log{\left (x \right )}} \left(2 \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \cot{\left (x \right )} + \frac{2 \cot^{2}{\left (x \right )} + 2}{x \log{\left (x \right )}} + \frac{\cot{\left (x \right )}}{x^{2} \log{\left (x \right )}} + \frac{2 \cot{\left (x \right )}}{x^{2} \log^{2}{\left (x \right )}}\right)$$

Третья производная

 /               2                                           /       2   \                               /       2   \     /       2   \       \ 
 |  /       2   \         2    /       2   \    2*cot(x)   3*\1 + cot (x)/    6*cot(x)     6*cot(x)    6*\1 + cot (x)/   6*\1 + cot (x)/*cot(x)| 
-|2*\1 + cot (x)/  + 4*cot (x)*\1 + cot (x)/ + --------- + --------------- + ---------- + ---------- + --------------- + ----------------------| 
 |                                              3              2              3    3       3    2          2    2               x*log(x)       | 
 \                                             x *log(x)      x *log(x)      x *log (x)   x *log (x)      x *log (x)                           / 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                      log(x)                                                                     

$$- \frac{1}{\log{\left (x \right )}} \left(2 \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right)^{2} + 4 \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \cot^{2}{\left (x \right )} + \frac{6 \cot{\left (x \right )}}{x \log{\left (x \right )}} \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) + \frac{3 \cot^{2}{\left (x \right )} + 3}{x^{2} \log{\left (x \right )}} + \frac{6 \cot^{2}{\left (x \right )} + 6}{x^{2} \log^{2}{\left (x \right )}} + \frac{2 \cot{\left (x \right )}}{x^{3} \log{\left (x \right )}} + \frac{6 \cot{\left (x \right )}}{x^{3} \log^{2}{\left (x \right )}} + \frac{6 \cot{\left (x \right )}}{x^{3} \log^{3}{\left (x \right )}}\right)$$