Производная функции/ От одной переменной/ y' = (cot(x)/(1+cot(x)))'

Производная cot(x)/(1+cot(x))

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение производной 😼

()'

– производная -го порядка в точке

Примеры

График:

от до

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
  cot(x)  
----------
1 + cot(x)
cot⁡(x)cot⁡(x)+1\frac{\cot{\left (x \right )}}{\cot{\left (x \right )} + 1}
Подробное решение

  1. Применим правило производной частного:

    ddx(f(x)g(x))=1g2(x)(−f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x))\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)

    f(x)=cot⁡(x)f{\left (x \right )} = \cot{\left (x \right )} и g(x)=cot⁡(x)+1g{\left (x \right )} = \cot{\left (x \right )} + 1.

    Чтобы найти ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}:

    1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

      Один из способов:

      1. ddxcot⁡(x)=−1sin⁡2(x)\frac{d}{d x} \cot{\left (x \right )} = - \frac{1}{\sin^{2}{\left (x \right )}}

    Чтобы найти ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}:

    1. дифференцируем cot⁡(x)+1\cot{\left (x \right )} + 1 почленно:

      1. Производная постоянной 11 равна нулю.

      2. Есть несколько способов вычислить эту производную.

        Один из способов:

        1. ddxcot⁡(x)=−1sin⁡2(x)\frac{d}{d x} \cot{\left (x \right )} = - \frac{1}{\sin^{2}{\left (x \right )}}

      В результате: −sin⁡2(x)+cos⁡2(x)cos⁡2(x)tan⁡2(x)- \frac{\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )} \tan^{2}{\left (x \right )}}

    Теперь применим правило производной деления:

    1(cot⁡(x)+1)2(−(sin⁡2(x)+cos⁡2(x))(cot⁡(x)+1)cos⁡2(x)tan⁡2(x)+(sin⁡2(x)+cos⁡2(x))cot⁡(x)cos⁡2(x)tan⁡2(x))\frac{1}{\left(\cot{\left (x \right )} + 1\right)^{2}} \left(- \frac{\left(\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}\right) \left(\cot{\left (x \right )} + 1\right)}{\cos^{2}{\left (x \right )} \tan^{2}{\left (x \right )}} + \frac{\left(\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}\right) \cot{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )} \tan^{2}{\left (x \right )}}\right)

  2. Теперь упростим:

    −1(tan⁡(x)+1)2cos⁡2(x)- \frac{1}{\left(\tan{\left (x \right )} + 1\right)^{2} \cos^{2}{\left (x \right )}}

Ответ:

−1(tan⁡(x)+1)2cos⁡2(x)- \frac{1}{\left(\tan{\left (x \right )} + 1\right)^{2} \cos^{2}{\left (x \right )}}

График
02468-8-6-4-2-1010-50005000
Первая производная [src]
        2      /       2   \       
-1 - cot (x)   \1 + cot (x)/*cot(x)
------------ + --------------------
 1 + cot(x)                   2    
                  (1 + cot(x))
−cot⁡2(x)−1cot⁡(x)+1+(cot⁡2(x)+1)cot⁡(x)(cot⁡(x)+1)2\frac{- \cot^{2}{\left (x \right )} - 1}{\cot{\left (x \right )} + 1} + \frac{\left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \cot{\left (x \right )}}{\left(\cot{\left (x \right )} + 1\right)^{2}}
Упростить
Вторая производная [src]
                /      2               2      /       2   \                \
  /       2   \ |   cot (x)     1 + cot (x)   \1 + cot (x)/*cot(x)         |
2*\1 + cot (x)/*|- ---------- - ----------- + -------------------- + cot(x)|
                |  1 + cot(x)    1 + cot(x)                  2             |
                \                                (1 + cot(x))              /
----------------------------------------------------------------------------
                                 1 + cot(x)
2cot⁡(x)+1(cot⁡2(x)+1)(cot⁡(x)−cot⁡2(x)+1cot⁡(x)+1−cot⁡2(x)cot⁡(x)+1+(cot⁡2(x)+1)cot⁡(x)(cot⁡(x)+1)2)\frac{2}{\cot{\left (x \right )} + 1} \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \left(\cot{\left (x \right )} - \frac{\cot^{2}{\left (x \right )} + 1}{\cot{\left (x \right )} + 1} - \frac{\cot^{2}{\left (x \right )}}{\cot{\left (x \right )} + 1} + \frac{\left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \cot{\left (x \right )}}{\left(\cot{\left (x \right )} + 1\right)^{2}}\right)
Упростить
Третья производная [src]
                /                                2                                                         2                                \
                |                   /       2   \         3            2    /       2   \     /       2   \             /       2   \       |
  /       2   \ |          2      3*\1 + cot (x)/    2*cot (x)    6*cot (x)*\1 + cot (x)/   3*\1 + cot (x)/ *cot(x)   7*\1 + cot (x)/*cot(x)|
2*\1 + cot (x)/*|-1 - 3*cot (x) - ---------------- + ---------- - ----------------------- + ----------------------- + ----------------------|
                |                              2     1 + cot(x)                    2                         3              1 + cot(x)      |
                \                  (1 + cot(x))                        (1 + cot(x))              (1 + cot(x))                               /
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                  1 + cot(x)
2cot⁡(x)+1(cot⁡2(x)+1)(−3cot⁡2(x)−1+7(cot⁡2(x)+1)cot⁡(x)cot⁡(x)+1+2cot⁡3(x)cot⁡(x)+1−3(cot⁡2(x)+1)2(cot⁡(x)+1)2−6(cot⁡2(x)+1)cot⁡2(x)(cot⁡(x)+1)2+3(cot⁡2(x)+1)2cot⁡(x)(cot⁡(x)+1)3)\frac{2}{\cot{\left (x \right )} + 1} \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \left(- 3 \cot^{2}{\left (x \right )} - 1 + \frac{7 \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \cot{\left (x \right )}}{\cot{\left (x \right )} + 1} + \frac{2 \cot^{3}{\left (x \right )}}{\cot{\left (x \right )} + 1} - \frac{3 \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right)^{2}}{\left(\cot{\left (x \right )} + 1\right)^{2}} - \frac{6 \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \cot^{2}{\left (x \right )}}{\left(\cot{\left (x \right )} + 1\right)^{2}} + \frac{3 \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right)^{2} \cot{\left (x \right )}}{\left(\cot{\left (x \right )} + 1\right)^{3}}\right)
Упростить