Производная cot(x/3)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение производной 😼

()'

– производная -го порядка в точке

График:

от до

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
   /x\
cot|-|
   \3/
cot(x3)\cot{\left(\frac{x}{3} \right)}
d /   /x\\
--|cot|-||
dx\   \3//
ddxcot(x3)\frac{d}{d x} \cot{\left(\frac{x}{3} \right)}
Подробное решение
  1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

    Method #1

    1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:

      cot(x3)=1tan(x3)\cot{\left(\frac{x}{3} \right)} = \frac{1}{\tan{\left(\frac{x}{3} \right)}}

    2. Заменим u=tan(x3)u = \tan{\left(\frac{x}{3} \right)}.

    3. В силу правила, применим: 1u\frac{1}{u} получим 1u2- \frac{1}{u^{2}}

    4. Затем примените цепочку правил. Умножим на ddxtan(x3)\frac{d}{d x} \tan{\left(\frac{x}{3} \right)}:

      1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:

        tan(x3)=sin(x3)cos(x3)\tan{\left(\frac{x}{3} \right)} = \frac{\sin{\left(\frac{x}{3} \right)}}{\cos{\left(\frac{x}{3} \right)}}

      2. Применим правило производной частного:

        ddxf(x)g(x)=f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

        f(x)=sin(x3)f{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{x}{3} \right)} и g(x)=cos(x3)g{\left(x \right)} = \cos{\left(\frac{x}{3} \right)}.

        Чтобы найти ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

        1. Заменим u=x3u = \frac{x}{3}.

        2. Производная синуса есть косинус:

          ddusin(u)=cos(u)\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}

        3. Затем примените цепочку правил. Умножим на ddxx3\frac{d}{d x} \frac{x}{3}:

          1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: xx получим 11

            Таким образом, в результате: 13\frac{1}{3}

          В результате последовательности правил:

          cos(x3)3\frac{\cos{\left(\frac{x}{3} \right)}}{3}

        Чтобы найти ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

        1. Заменим u=x3u = \frac{x}{3}.

        2. Производная косинус есть минус синус:

          dducos(u)=sin(u)\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}

        3. Затем примените цепочку правил. Умножим на ddxx3\frac{d}{d x} \frac{x}{3}:

          1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: xx получим 11

            Таким образом, в результате: 13\frac{1}{3}

          В результате последовательности правил:

          sin(x3)3- \frac{\sin{\left(\frac{x}{3} \right)}}{3}

        Теперь применим правило производной деления:

        sin2(x3)3+cos2(x3)3cos2(x3)\frac{\frac{\sin^{2}{\left(\frac{x}{3} \right)}}{3} + \frac{\cos^{2}{\left(\frac{x}{3} \right)}}{3}}{\cos^{2}{\left(\frac{x}{3} \right)}}

      В результате последовательности правил:

      sin2(x3)3+cos2(x3)3cos2(x3)tan2(x3)- \frac{\frac{\sin^{2}{\left(\frac{x}{3} \right)}}{3} + \frac{\cos^{2}{\left(\frac{x}{3} \right)}}{3}}{\cos^{2}{\left(\frac{x}{3} \right)} \tan^{2}{\left(\frac{x}{3} \right)}}

    Method #2

    1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:

      cot(x3)=cos(x3)sin(x3)\cot{\left(\frac{x}{3} \right)} = \frac{\cos{\left(\frac{x}{3} \right)}}{\sin{\left(\frac{x}{3} \right)}}

    2. Применим правило производной частного:

      ddxf(x)g(x)=f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

      f(x)=cos(x3)f{\left(x \right)} = \cos{\left(\frac{x}{3} \right)} и g(x)=sin(x3)g{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{x}{3} \right)}.

      Чтобы найти ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

      1. Заменим u=x3u = \frac{x}{3}.

      2. Производная косинус есть минус синус:

        dducos(u)=sin(u)\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на ddxx3\frac{d}{d x} \frac{x}{3}:

        1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

          1. В силу правила, применим: xx получим 11

          Таким образом, в результате: 13\frac{1}{3}

        В результате последовательности правил:

        sin(x3)3- \frac{\sin{\left(\frac{x}{3} \right)}}{3}

      Чтобы найти ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

      1. Заменим u=x3u = \frac{x}{3}.

      2. Производная синуса есть косинус:

        ddusin(u)=cos(u)\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на ddxx3\frac{d}{d x} \frac{x}{3}:

        1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

          1. В силу правила, применим: xx получим 11

          Таким образом, в результате: 13\frac{1}{3}

        В результате последовательности правил:

        cos(x3)3\frac{\cos{\left(\frac{x}{3} \right)}}{3}

      Теперь применим правило производной деления:

      sin2(x3)3cos2(x3)3sin2(x3)\frac{- \frac{\sin^{2}{\left(\frac{x}{3} \right)}}{3} - \frac{\cos^{2}{\left(\frac{x}{3} \right)}}{3}}{\sin^{2}{\left(\frac{x}{3} \right)}}

  2. Теперь упростим:

    13sin2(x3)- \frac{1}{3 \sin^{2}{\left(\frac{x}{3} \right)}}


Ответ:

13sin2(x3)- \frac{1}{3 \sin^{2}{\left(\frac{x}{3} \right)}}

График
02468-8-6-4-2-1010-50005000
Первая производная [src]
         2/x\
      cot |-|
  1       \3/
- - - -------
  3      3   
cot2(x3)313- \frac{\cot^{2}{\left(\frac{x}{3} \right)}}{3} - \frac{1}{3}
Вторая производная [src]
  /       2/x\\    /x\
2*|1 + cot |-||*cot|-|
  \        \3//    \3/
----------------------
          9           
2(cot2(x3)+1)cot(x3)9\frac{2 \left(\cot^{2}{\left(\frac{x}{3} \right)} + 1\right) \cot{\left(\frac{x}{3} \right)}}{9}
Третья производная [src]
   /       2/x\\ /         2/x\\
-2*|1 + cot |-||*|1 + 3*cot |-||
   \        \3// \          \3//
--------------------------------
               27               
2(cot2(x3)+1)(3cot2(x3)+1)27- \frac{2 \left(\cot^{2}{\left(\frac{x}{3} \right)} + 1\right) \left(3 \cot^{2}{\left(\frac{x}{3} \right)} + 1\right)}{27}
График
Производная cot(x/3) /media/krcore-image-pods/hash/derivative/b/54/e13434f5a499d2201fe4290c51499.png