Производная функции/ От одной переменной/ y' = (cot(x/3)^(3))'

Производная cot(x/3)^(3)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение производной 😼

()'

– производная -го порядка в точке

Примеры

График:

от до

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
   3/x\
cot |-|
    \3/
cot⁡3(x3)\cot^{3}{\left (\frac{x}{3} \right )}
Подробное решение

  1. Заменим u=cot⁡(x3)u = \cot{\left (\frac{x}{3} \right )}.

  2. В силу правила, применим: u3u^{3} получим 3u23 u^{2}

  3. Затем примените цепочку правил. Умножим на ddxcot⁡(x3)\frac{d}{d x} \cot{\left (\frac{x}{3} \right )}:

    1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

      Один из способов:

      1. Заменим u=x3u = \frac{x}{3}.

      2. dducot⁡(u)=−1sin⁡2(u)\frac{d}{d u} \cot{\left (u \right )} = - \frac{1}{\sin^{2}{\left (u \right )}}

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на ddx(x3)\frac{d}{d x}\left(\frac{x}{3}\right):

        1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

          1. В силу правила, применим: xx получим 11

          Таким образом, в результате: 13\frac{1}{3}

        В результате последовательности правил:

        −13sin⁡2(x3)- \frac{1}{3 \sin^{2}{\left (\frac{x}{3} \right )}}

    В результате последовательности правил:

    −3(13sin⁡2(x3)+13cos⁡2(x3))cot⁡2(x3)cos⁡2(x3)tan⁡2(x3)- \frac{3 \left(\frac{1}{3} \sin^{2}{\left (\frac{x}{3} \right )} + \frac{1}{3} \cos^{2}{\left (\frac{x}{3} \right )}\right) \cot^{2}{\left (\frac{x}{3} \right )}}{\cos^{2}{\left (\frac{x}{3} \right )} \tan^{2}{\left (\frac{x}{3} \right )}}

  4. Теперь упростим:

    −cos⁡2(x3)sin⁡4(x3)- \frac{\cos^{2}{\left (\frac{x}{3} \right )}}{\sin^{4}{\left (\frac{x}{3} \right )}}

Ответ:

−cos⁡2(x3)sin⁡4(x3)- \frac{\cos^{2}{\left (\frac{x}{3} \right )}}{\sin^{4}{\left (\frac{x}{3} \right )}}

График
02468-8-6-4-2-1010-100000000100000000
Первая производная [src]
   2/x\ /        2/x\\
cot |-|*|-1 - cot |-||
    \3/ \         \3//
(−cot⁡2(x3)−1)cot⁡2(x3)\left(- \cot^{2}{\left (\frac{x}{3} \right )} - 1\right) \cot^{2}{\left (\frac{x}{3} \right )}
Упростить
Вторая производная [src]
  /       2/x\\ /         2/x\\    /x\
2*|1 + cot |-||*|1 + 2*cot |-||*cot|-|
  \        \3// \          \3//    \3/
--------------------------------------
                  3
23(cot⁡2(x3)+1)(2cot⁡2(x3)+1)cot⁡(x3)\frac{2}{3} \left(\cot^{2}{\left (\frac{x}{3} \right )} + 1\right) \left(2 \cot^{2}{\left (\frac{x}{3} \right )} + 1\right) \cot{\left (\frac{x}{3} \right )}
Упростить
Третья производная [src]
                 /             2                                      \
   /       2/x\\ |/       2/x\\         4/x\        2/x\ /       2/x\\|
-2*|1 + cot |-||*||1 + cot |-||  + 2*cot |-| + 7*cot |-|*|1 + cot |-|||
   \        \3// \\        \3//          \3/         \3/ \        \3///
-----------------------------------------------------------------------
                                   9
−29(cot⁡2(x3)+1)((cot⁡2(x3)+1)2+7(cot⁡2(x3)+1)cot⁡2(x3)+2cot⁡4(x3))- \frac{2}{9} \left(\cot^{2}{\left (\frac{x}{3} \right )} + 1\right) \left(\left(\cot^{2}{\left (\frac{x}{3} \right )} + 1\right)^{2} + 7 \left(\cot^{2}{\left (\frac{x}{3} \right )} + 1\right) \cot^{2}{\left (\frac{x}{3} \right )} + 2 \cot^{4}{\left (\frac{x}{3} \right )}\right)
Упростить