Производная cot(x+pi/4)

Вы ввели

   /    pi\
cot|x + --|
   \    4 /

$$\cot{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}$$

d /   /    pi\\
--|cot|x + --||
dx\   \    4 //

$$\frac{d}{d x} \cot{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

   Method #1

   1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:

      $\cot{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} = \frac{1}{\tan{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}$

   2. Заменим $u = \tan{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}$.

   3. В силу правила, применим: $\frac{1}{u}$ получим $- \frac{1}{u^{2}}$

   4. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \tan{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}$:

      1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:

         $\tan{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} = \frac{\sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}{\cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}$

      2. Применим правило производной частного:

         $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

         $f{\left(x \right)} = \sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}$.

         Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

         1. Заменим $u = x + \frac{\pi}{4}$.

         2. Производная синуса есть косинус:

            $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

         3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \left(x + \frac{\pi}{4}\right)$:

            1. дифференцируем $x + \frac{\pi}{4}$ почленно:

               1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

               2. Производная постоянной $\frac{\pi}{4}$ равна нулю.

               В результате: $1$

            В результате последовательности правил:

            $\cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}$

         Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

         1. Заменим $u = x + \frac{\pi}{4}$.

         2. Производная косинус есть минус синус:

            $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

         3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \left(x + \frac{\pi}{4}\right)$:

            1. дифференцируем $x + \frac{\pi}{4}$ почленно:

               1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

               2. Производная постоянной $\frac{\pi}{4}$ равна нулю.

               В результате: $1$

            В результате последовательности правил:

            $- \sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}$

         Теперь применим правило производной деления:

         $\frac{\sin^{2}{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} + \cos^{2}{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}{\cos^{2}{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}$

      В результате последовательности правил:

      $- \frac{\sin^{2}{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} + \cos^{2}{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}{\cos^{2}{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} \tan^{2}{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}$

   Method #2

   1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:

      $\cot{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} = \frac{\cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}{\sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}$

   2. Применим правило производной частного:

      $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

      $f{\left(x \right)} = \cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}$.

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Заменим $u = x + \frac{\pi}{4}$.

      2. Производная косинус есть минус синус:

         $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \left(x + \frac{\pi}{4}\right)$:

         1. дифференцируем $x + \frac{\pi}{4}$ почленно:

            1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            2. Производная постоянной $\frac{\pi}{4}$ равна нулю.

            В результате: $1$

         В результате последовательности правил:

         $- \sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}$

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. Заменим $u = x + \frac{\pi}{4}$.

      2. Производная синуса есть косинус:

         $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \left(x + \frac{\pi}{4}\right)$:

         1. дифференцируем $x + \frac{\pi}{4}$ почленно:

            1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            2. Производная постоянной $\frac{\pi}{4}$ равна нулю.

            В результате: $1$

         В результате последовательности правил:

         $\cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}$

      Теперь применим правило производной деления:

      $\frac{- \sin^{2}{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} - \cos^{2}{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}{\sin^{2}{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{2}{\left(\sin{\left(2 x \right)} - 1\right) \tan^{2}{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}$

---

Ответ:

$\frac{2}{\left(\sin{\left(2 x \right)} - 1\right) \tan^{2}{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}$

Первая производная

        2/    pi\
-1 - cot |x + --|
         \    4 /

$$- \cot^{2}{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} - 1$$

Вторая производная

  /       2/    pi\\    /    pi\
2*|1 + cot |x + --||*cot|x + --|
  \        \    4 //    \    4 /

$$2 \left(\cot^{2}{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} + 1\right) \cot{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}$$

Третья производная

   /       2/    pi\\ /         2/    pi\\
-2*|1 + cot |x + --||*|1 + 3*cot |x + --||
   \        \    4 // \          \    4 //

$$- 2 \left(\cot^{2}{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} + 1\right) \left(3 \cot^{2}{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} + 1\right)$$

График