Производная (cot(x))^4*x

Вы ввели

   4     
cot (x)*x

$$x \cot^{4}{\left(x \right)}$$

d /   4     \
--\cot (x)*x/
dx           

$$\frac{d}{d x} x \cot^{4}{\left(x \right)}$$

Подробное решение

1. Применяем правило производной умножения:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = \cot^{4}{\left(x \right)}$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Заменим $u = \cot{\left(x \right)}$.

   2. В силу правила, применим: $u^{4}$ получим $4 u^{3}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \cot{\left(x \right)}$:

      1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

         Method #1

         1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:

            $\cot{\left(x \right)} = \frac{1}{\tan{\left(x \right)}}$

         2. Заменим $u = \tan{\left(x \right)}$.

         3. В силу правила, применим: $\frac{1}{u}$ получим $- \frac{1}{u^{2}}$

         4. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \tan{\left(x \right)}$:

            1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:

               $\tan{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$

            2. Применим правило производной частного:

               $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

               $f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$.

               Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

               1. Производная синуса есть косинус:

                  $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

               Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

               1. Производная косинус есть минус синус:

                  $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$

               Теперь применим правило производной деления:

               $\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$

            В результате последовательности правил:

            $- \frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}}$

         Method #2

         1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:

            $\cot{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}$

         2. Применим правило производной частного:

            $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

            $f{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$.

            Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

            1. Производная косинус есть минус синус:

               $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$

            Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

            1. Производная синуса есть косинус:

               $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

            Теперь применим правило производной деления:

            $\frac{- \sin^{2}{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}$

      В результате последовательности правил:

      $- \frac{4 \left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \cot^{3}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}}$

   $g{\left(x \right)} = x$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

   В результате: $- \frac{4 x \left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \cot^{3}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}} + \cot^{4}{\left(x \right)}$

2. Теперь упростим:

   $- \frac{4 x \cos^{3}{\left(x \right)}}{\sin^{5}{\left(x \right)}} + \frac{1}{\tan^{4}{\left(x \right)}}$

---

Ответ:

$- \frac{4 x \cos^{3}{\left(x \right)}}{\sin^{5}{\left(x \right)}} + \frac{1}{\tan^{4}{\left(x \right)}}$

Первая производная

   4           3    /          2   \
cot (x) + x*cot (x)*\-4 - 4*cot (x)/

$$x \left(- 4 \cot^{2}{\left(x \right)} - 4\right) \cot^{3}{\left(x \right)} + \cot^{4}{\left(x \right)}$$

Вторая производная

     2    /       2   \ /              /         2   \\
4*cot (x)*\1 + cot (x)/*\-2*cot(x) + x*\3 + 5*cot (x)//

$$4 \left(x \left(5 \cot^{2}{\left(x \right)} + 3\right) - 2 \cot{\left(x \right)}\right) \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \cot^{2}{\left(x \right)}$$

Третья производная

                /      /                           2                           \                           \       
  /       2   \ |      |     4        /       2   \          2    /       2   \|     /         2   \       |       
4*\1 + cot (x)/*\- 2*x*\2*cot (x) + 3*\1 + cot (x)/  + 10*cot (x)*\1 + cot (x)// + 3*\3 + 5*cot (x)/*cot(x)/*cot(x)

$$4 \left(- 2 x \left(3 \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{2} + 10 \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \cot^{2}{\left(x \right)} + 2 \cot^{4}{\left(x \right)}\right) + 3 \cdot \left(5 \cot^{2}{\left(x \right)} + 3\right) \cot{\left(x \right)}\right) \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \cot{\left(x \right)}$$

График